Критерии устойчивости.
Вычисление корней характеристических уравнений просто для уравнений первой и второй степени. Если общие выражения для корней уравнений третьей и четвёртой степени известны, но они громоздки и практически мало удобны. Уравнения более высоких степеней не имеют общих выражений для вычисления корней. Поэтому важное значение приобрели правила, которые позволяют определить устойчивость системы, не вычисляя корней. Эти правила называют критериями устойчивости. Критерии устойчивости можно разбить на две группы: алгебраические и частотные. К алгебраическим критериям относят критерий устойчивости Рауса (Routh) и критерий устойчивости Гурвица (Hurwitz).
Недостатком алгебраических критериев является то, что в случае неустойчивости АСУ они не дают ответа на вопрос, как надо изменить параметры системы, чтобы она стала устойчивой.
Частотные критерии позволяют обеспечить наглядность инженерных расчётов, поэтому иногда их называют графоаналитическими критериями.
Критерий устойчивости Гурвица
Швейцарский профессор А. Гурвиц в 1895 году разработал алгоритм решения задачи определения устойчивости системы регулирования.
Для характеристического уравнения n-го порядка
αОpn + α1pn-1 +... + αn-1p + αn = 0
составляют квадратную матрицу коэффициентов (определитель Гурвица), содержащую n строк и n столбцов
По главной диагонали записываются n коэффициентов, начиная с α1 и кончая αn. Каждый столбец дополняется вверх от диагонали коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз – коэффициенты с убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n (отсутствующие коэффициенты) записываются нули.
Для устойчивости системы n-го порядка необходимо, чтобы при αО>0 все n главных определителей были положительными. Определители получаются из главной матрицы простым отчёркиванием n-го столбца и n-ой строки.
Уже для уравнений выше четвёртой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются громоздкими. Поэтому он используется для анализа уравнений до четвёртого порядка.
Критерий устойчивости Михайлова
Этот частотный критерий был сформулирован А.В. Михайловым в 1936 году.
В характеристический многочлен линейной системы n-го порядка
D(p) = αОpn + α1pn-1 +... + αn-1p + αn
Подставляют чисто мнимое значение p = jω и получают характеристический комплекс
D(jω) = X(ω) + jY(ω),
В котором вещественная часть X(ω) содержит чётные степени параметра ω
X(ω) = αn – αn-2 ω2 +αn-4 ω4 - ….
А мнимая часть Y(ω) нечётные степени параметра ω.
Y(ω) = αn-1ω – αn-3 ω3 +αn-5 ω5 - ….
Комплекс D(jω) изображают на комплексной плоскости в виде вектора с проекциями на вещественную и мнимую оси X и Y. Если значение ω изменять непрерывно от 0 до ∞, то вектор D(jω) своим концом опишет кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова. Практически кривая Михайлова строится по точкам, задаваясь различными значениями ω и вычисляя значения X(ω) и Y(ω).
Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jω), описывающий кривую Михайлова, при изменении параметра ω от 0 до ∞ имел угол поворота ψ = n π/2 против часовой стрелки.
Рис. 5.2. Кривые Михайлова на комплексной плоскости.