3. Арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями. (хз то ли это)

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей   и   называется числовая последовательность   такая, что  .

Разностью числовых последовательностей   и   называется числовая последовательность   такая, что  .

Произведением числовых последовательностей   и   называется числовая последовательность   такая, что  .

Частным числовой последовательности   и числовой последовательности  , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность  . Если в последовательности   на позиции   всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность  .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

4. Предельный переход в неравенствах для числовых последовательностей.

Теорема 1. Пусть   - сходящаяся последовательность и  . Тогда  .

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Обозначим  . Тогда утверждение, противоположное доказываемому, имеет вид:

.

Возьмем . Тогда, по определению, предела последовательности, можно написать

.

Последнее неравенство распишем в виде двойного

Но так как  , то   и получается что  , что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если   и   сходящиеся последовательности и  , то

.

Доказательство дается следующей цепочкой следствий

 =>   =>   => 

=> 

Важное замечание. Допустим, что в условии теоремы вместо   мы написали . Можно ли утверждать, что  ?

Ответ отрицательный. Действительно, пусть, например,  . Тогда  , но  .

Таким образом, итог этой теоремы и замечание выглядит так: в неравенствах допустим предельный переход, надо только иметь ввиду, что после предельного перехода строгое неравенство (типа > или <) может замениться на нестрогое

(> перейдет в  , < перейдет в  ).

Теорема 2. Пусть

1.  и   сходящиеся последовательности;

2. ;

3. 

Тогда   также сходящаяся последовательность и  .

Доказательство:

 => 

или 

 => 

или .

Беря   и учитывая, что     можно записать 

.

Выбрасывая лишнее, получим что

   или  ,

что и говорит о том, что  .

Эту теорему часто называют “теоремой о двух милиционерах” ( ,   - милиционеры,   - преступник, которого они “берут в клещи”).

5. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е.

Определение. Последовательность   называется

- монотонно возрастающей (неубывающей), если    ;

- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если    ;

- монотонно убывающей (невозрастающей), если    ;

- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если    ;

Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом  , монотонно убывающие - символом  .

Сейчас докажем одну из важнейших теорем.

Теорема:

1. Если последовательность   монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;

2. Если последовательность   монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то  .

Доказательство.