Вопросы по математическому анализу

1. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.

Определение 1. Если каждому натуральному числу   по определённому правилу ставится в соответствие число  , то множество чисел   называется числовой последовательностью.

Определение 2. Числа, из которых составлена последовательность, называют её членами.

Задать числовую последовательность – значит, задать правило, с помощью которого по номеру члена можно найти этот член, т. е. задать функцию  , где   – правило соответствия между   и  , а  .

Определение 3. Общим членом последовательности называется её  –й член  , записанный в виде функции от  , т. е.  .

Если   задано, то последовательность имеет вид  . Последовательность нельзя задать указанием нескольких её первых членов.

Определение 4. Числовая последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной последовательностью или просто постоянной.

Пример 1.  , т. е.  .

Пример 2.  , т. е.  .

Числовая последовательность – частный случай дискретной переменной величины  , принимающей значение  . Эта переменная упорядочена, так как если  , то   предшествует  .

Определение 5. Постоянное число   называется пределом числовой последовательности  , если для всякого   можно указать такой номер  , начиная с которого все последующие члены последовательности удовлетворяют неравенству

. (1)

Записывается это так:   при   или   (читают: «  стремится к   при  , стремящемся к бесконечности, или предел   при  , стремящемся к бесконечности, равен  »).

Неравенство (1) можно переписать в виде

Или  . (2)

Рисунок 1

Определение 6. Интервал (промежуток)   называется   – окрестностью точки  . (рис.1)

Пользуясь понятием   – окрестности, определение предела числовой последовательности можно сформулировать следующим образом: число   есть предел последовательности  , если можно указать такой номер  , что все члены последовательности с номерами большими  , находятся в   – окрестности точки  , где   – любое как угодно малое положительное число  . Иначе говоря, все члены последовательности с номерами, большими  , на оси   (см. рис.1) изображаются точками, лежащими от точки   на расстоянии, меньшем  .

Определение 7. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение 8. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Докажем теорему о единственности предела последовательности.

    Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой   может иметь на этой прямой только один предел.

Рис. 49

  Допустим противное. Пусть существует такая последовательность x_n    , n = 1, 2, ..., что   = a  и   = b, причем a   b, a    , b    . Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U(а) иV = V(b) точек а и b (рис. 49): U    V =  . Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {x_n}. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности V должны находиться все члены последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие. 

Последовательность    называется ограниченной снизу, если существует такое число , что все члены последовательности удовлетворяют условию   , т. е.:

Последовательность    называется ограниченной сверху, если:

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность    называется ограниченной, если:

это можно записать и так:

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство: 

Пусть последовательность   имеет предел, равный а. По определению предела для    найдем номер N такой, что при всех    имеет место неравенство   . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

.

Поэтому при всех    выполняется неравенство:

.

Положим   , тогда   при всех   , т. е. последовательность    ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность   ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие    не выполняется, т. е.

,

то говорят, что последовательность    не ограничена.