33.Неустойчивое колебательное звено.

Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂ - a₁ + a_oy(t) =b_og(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588, a₁=0,504, a_o=12, b_o=31,20

- +y(t)= g(t)

-T_1* + y(t)=kg(t),где k= -коэффициент передачи,T₁= , T₂²= -постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T₁<2T₂), то оно является колебательным

ФЧХ устойчивых и неустойчивых систем, имеющих / корней характеристического уравнения в правой полуплоскости:0— устойчивой системы (/ = 1); б — устойчивой системы (/ = 2); в — неустойчивой системы (/ = 2).

устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку (—1, /О).Если система в разомкнутом состоянии неустойчива (например, имеются звенья, охваченные положительной обратной связью), то при определенных условиях замкнутая система может быть устойчивой. В этом случае изменение аргумента характеристического вектора разомкнутой системы F (/со) при изменении со от 0 до + со равно Л arg F (/со) = (л — 21) я/2, где / — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы в правой полуплоскости.

Если замкнутая система устойчива, то A arg F3 (/со) = яя/2, тогда A arg / (/ю) = пп/2 — (я — 21) я/2 = (1/2) 2я, т. е. система автоматического управления, неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая 1корней в правой полуплоскости, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (—1, /О) 1/2 раз в положительном направлении при изменении частоты со от О до со. На рис. 3.6, а, б, в показаны АФЧХ устойчивых и неустойчивых систем для различных .

34.Устойчивость сар.

Под устойчивостью понимают способность системы восстанавливать исходное состояние равновесия после снятия внешнего возмущения. Различают три типа систем:устойчивые - это системы, которые, будучи выведены из состояния равновесия каким-либо внешним возмущением, после снятия этого возмущения возвращаются в исходное состояние равновесия;нейтральные - системы, которые после снятия возмущения приходят в состояние равновесия, отличное от исходного;неустойчивые - такие системы, в которых не устанавливается рав новесие после снятия возмущения. Примерами устойчивых систем могут служить все рассмотренные выше типовые звенья, кроме интегрирующего, которое является нейтральным объектом. Это можно проиллюстрировать графиками переходных процессов, соответствующим импульсным входным сигналам. Примером неустойчивой системы может служить объект, охваченный положительной обратной связью. Так некоторые химические реакторы, в которых происходят экзотермические реакции, являются неустойчивыми объектами. Теперь можно сформулировать общее условие устойчивости линейных систем: линейная система будет устойчива в том случае, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, сибтема будет неустойчива. линейная система будет устойчива, если все корни ее характеристического уравнения лежат в плоскости комплексного переменного слева от мнимой оси. реальные промышленные системы описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка или содержат звенья чистого запаздывания, так что нахождение корней характеристического уравнения представляет трудную задачу. Необходимым(но недостаточным) условием устойчивости системы является положительность коэффициентов ее характеристического уравнения.

веществ. корень p_i. В решении будет составл. веществ. A_ie^pit. а) p_i>0 =>e_t→∞ ^pit→∞ расход. процесс, система не устойчива; б) p_i<0 =>e_t→∞ ^pit→0 сход. перех. процесс, система устойчива; в) p_i=0 =>Аe^pit=А_i – перех. процесса нет.

35.Критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Правило состав. опред. Гурвица. Главная диагональ определ. послед. заполняется коэфф. харак. ур-я начиная с коэфф. при (n-1) производной т.е p^n-1 и до свободного члена. Столбцы вверх от диагонали заполняют последоват. коэфф. по убыв. степ; вниз по возраст. степеням “p”. На месте коэфф. индексы котор. ( >n и <0) ставят 0. a₀pⁿ+ a₁p^n-1+…+ a_n-1p+ a_n=0. Для того чтобы хар-ое ур-е системы имело все корни с отриц. веществ. частью необходимо и достаточно, чтобы главный определ. Гурвица (∆n) и все его

диагональные миноры (∆_n-1, ∆_n-2, ∆₁) имели один знак с коэфф. при старшей производной (а_n>0).

Уже для уравнений пятой степени условия устойчивости получаются громоздкими Для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ об устойчивости системы, но нельзя выяснить каким образом надо изменить параметры системы, чтоб сделать ее устойчивой. Таким образом, для систем 1-го и И-го порядков необходимое условие устойчивости - положительность всех коэффициентов дифференциального уравнения - оказывается и достаточным. 36.Критерий устойчивости Михайлова. САУ будет устойчива если годограф функции D(jω) начинается на положительной вещественной полуоси и проходит послед. n-квадрантов нигде не нарушая порядок следоват. квадрантов и не обращаясь в 0. Пусть задано хар-е ур-е D(p)=anpn+ an-1pn-1+…+ a1p+ a0=0, Это уравнение можно записать через его корни D(p)= an(p-λ1) * (p- λ 2)*(p- λ 3)…(p- λ n)=0, λ 1, λ 2, λ 3, λ n – корни полинома D(p). Сделаем подстановку p=jω и перейдем в частотную область D(jω)= an(jω -λ1 ) * (jω - λ 2)*( jω - λ 3)…( jω - λ n)=0. Представим элементарный множитель (jω-λ i) в виде вектора на комплексной плоскости и рассмотрим его поведение при изменении частоты ω от -∞ до +∞. Используя принцип аргумента исследуем поведение ф-ии D(jω) при изменении частоты ω(0;+∞). D(jω)=an(jω)n+ an-1(jω)n-1+…+ a1(jω)+ a0=R(ω)+jQ(ω). Для каждого значения частоты ω имеем вектор, который будет поворач. при изменении частоты. Траектория конца вектора назыв. траекторией годографа Михайлова. Условие нахождения системы на границе устойчивости: D(jω)=0,при {R(∞)=0Q(∞)=0 для уст-й. САУ ф-ии R(ω) и Q(ω) должны по очереди пересек. ось абцисс, корни R и Q должны чередоваться. 37.Основные этапы построения годографа Михайлова.

Левая часть характеристического уравнения замкнутой САУ Q(p) = a n p (n) + a n - 1 p(n-1) +...+a1 p' + a0; Подставим чисто мнимое значение p = jw. Q(jw) = an(jw)n + an-1(jw)n-1 + ... + a1 jw + a0 - вектор Михайлова. Если изменять w от 0 до oo , то вектор опишет кривую - годограф Михайлова

В соответствии с этим критерием необходимо построить годограф Михайлова , который для устойчивых систем имеет строго определенный вид. И тогда система автоматического управления будет устойчивой, если годограф Михайлова начинается на положительной вещественной полуоси, обходит последовательно, нигде не обращаясь в нуль, n квадрантов координатной плоскости, уходя в бесконечность в n квадранте, где n - порядок характеристического уравнени