11.Назначение преобразований Лапласа.

Основное достоинство такого преобразования – замена операций интегрирования, дифференцирования на алгебраические действия по отношению к изображению. Преобразованной по Лапласу функцией называется функция комплексного переменного, опредеяемого соотношением:

где х(t) - исходная функция действительного переменного t, называемая оригиналом; Р-комплексная переменная; и, амега-действительные переменные. Функция х(р) называется изображением по Лапласу функции x(t).

L х(t) = х(p), L-символ преобразований Лапласа.

Обратный переход от изображения к оригиналу

с - абсцисса сходимости функции х(£) Для большого числа функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями, значительно облегчающие применение преобразования Лапласа. Широкое использование преобразования Лапласа объясняется рядом преимуществ этого метода перед прямым решением задач в области действительного переменного.

В частности, изображения некоторых функций оказываются проще их оригиналов. Другим важным преимуществом операционного исчисления является тот факт, что операции над изображениями оказываются проще, чем соответствующие операции над оригиналами

12.Изображения по Лапласу наиболее часто применяемых функций. Разрывная функция т.е. оригинал является разрывной функцией времени. Найдем ее изображение: Первое слагаемое равно нулю, так как подынтегральная функция на интервале интегрирования [О, tj равна нулю. После подстановки. во второе слагаемое x(t ) = 1 , получим т.е. изображение оказывается непрерывной функцией от р.

Оригинал - трансцендентная функция

Таким образом, изображение является алгебраической функцией.

дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на р ,интегрированию оригинала соответствует деление изображения на р

13.Передаточная функция объекта.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Далласу выхода объекта ( У(Р) к преобразованному по Лапласу входу х(Р). Передаточная функция характеризует динамику объекта по определенному каналу, связывающему конкретный вход объекта с выходом. Если в объекте имеется несколько входов, то каждому каналу связи входа с выходом будет соответствовать своя передаточная функция

Так же как и дифференциальное уравнение, передаточная функция полностью характеризует динамику объекта. Если задано дифференциальное уравнение объекта, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из полученного алгебраического уравнения найти отношение. Таким образом передаточная функция равна отношению двух полиномов Для реальных физических объектов молено отметить как характерную особенность тот факт, что степень полинома, стоящего в числителе £(Р) всегда меньше (или равна) степени полинома в знаменателе

14.Структурные схемы. Назначение, основные элементы.

Структурная схема является графическим изображением дифференциального уравнения объекта и обладает главным достоинством любого графического представления-наглядностьп. Составление структурной схемы, как правило, является первым этапом исследования сложных объектов управления с большим числом взаимосвязанных параметров и значительно облегчает составление общего математического описания объекта. При составлении структурной схемы объект условно разбивается на отдельные элементы, которые описываются достаточно простыми зависимостями. На структурной схеме эти элементы, называемые звеньями, изображаются в виде прямоугольников, внутри которых записывается передаточная функция звена. Взаимосвязь между звеньями изображается линиями связи со стрелками, указывающими направление передачи сигнала. Над линией ставится условное обозначение сигнала. Точка на линии связи, в которой происходит разветвление линии (т.е. один и тот же сигнал подается на входы различных звеньев) , называется узлом. Алгебраическое сложение нескольких сигналов изображается в виде круга на линии связи, называемого сумматором. Основные элементы: звено, линия связи, узел, сумматор.

15.Параллельное соединение звеньев.

входные сигналы всех звеньев одинаковы и равны входу системы х(Р) . а выход системы у(р) равен сумме выходов звеньев

W_э(p)=Y(p)/X(p)=W₁(p)+W₂(p)+W₃(p)=Σⁿ_i=1W_i(p). Таким образом передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных зве-ньэв.

16.Последовательное соединение звеньев.

выход предыдущего эвена подается на вход последующего W_э(p)=Y(p)/X(p)=W1(p)*W2(p)*W3(p)= Πⁿ_i=1Wi(p).

Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Однако необходимо отметить, что это соотношение справедливо лишь в том случае, если передаточная функция кажвдого звена не изменяется от его включения последовательно с другим звеном, т.е. выход каждого звена зависит только от его входа и не зависит от выходной координаты последующего звена. Такие звенья называются детектирующими, т.е. они пропускают сигнал по цепочке звеньев только в одном направлении: от входа к выходу. Звено, выход которого зависит не только от его входа, но и от выходной координаты последующего звена, называется недетектирующим. Очевидно, что уравнения такого звена будут различными в зависимости от того, рассматривается оно изолированно или в последовательном соединении с другими звеньями.

17.Соединение звеньев с обратной связью. Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход (рис.1.16), где сигнал обратной связи хoc суммируется с внешним сигналом х . Причем, если суммарный сигнал х, определяется соотношением х₁₌ х +хoc, то обратная связь называется положительной; если же х₁₌ х -хoc, т.е. сигнал обратной связи вычитается из внешнего сигнала, то обратная связь называется отрицательной.

В линии обратной связи в общем случае может быть включено звено, в котором выходной сигнал у преобразуется в соответствии с передаточной функцией Woс (p) в сигнал хос . Иногда это звено может отсутствовать, т.е. Woc(p)= 1 и х_ж = у . Найдем соотношение между передаточной функцией замкнутой системы хзс (р) и передаточными функциями отдельных звеньев Wп (р) и Woс (р) . Запишем формулы выходных сигналов каждого звена

У(Р) = х1(P) *Wп (р);

х1(P) = х(P) +хoc (р);

хoc (р);= У(Р) * Woс (р) Исключив х1 и хос

18.Переносы узла через звено по направлению и против направления сигнала. Перенос узла через звено (по направлению сигнала) приводит к появлению дополнительного звена с передаточной функцией

При переносе узла через звено (против направления сигнала) такве появляется дополнительное звено с передаточной функцией W

19.Переносы узла через узел и через сумматор /по направлению сигнала/. Перенос узла через узел осуществляется без дополнительных преобразований При переносе узла через сумматор (по направлению сигнала) в боковой ветви преобразованного участка появляется дополнительное звено с передаточной функцией

20.Переносы сумматора через сумматор и через узел /по направлению сигнала/. Перенос сумматора через сумматор также производится без дополнительных преобразований При переносе сумматора через узел (по направлению сигнала) в боковой ветви также появляется дополнительное звено с передаточной функцией +1

21.Перенос сумматора через звено по направлению сигнала. Перенос сумматора через звено (по направлению сигнала) соп-рововдается появлением дополнительного звена с передаточной функцией W

22.Перенос сумматора через звено против направления сигнала. Перенос сумматора через звено (против направления сигнала) приводит к появлению дополнительного звена с передаточной функцией 1/ W

23.Частотные характеристики. Если на вход линейного объекта подавать гармонический сигнал, например, вида х(t) = АSinwt , то на выходе его в установившемся режиме мы получим также гармонический сигнал, частота которого равна частоте входных колебаний, а амплитуда и фаза выходных колебаний будут отличаться от амплитуды и фазы входного сигнала, т.е. У_еын (t) = BSin (wt + ) Степень различия между параметрами входных и выходных гармо нических сигналов не зависит от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний. Поэтому в качестве динамических характеристик объекта могут быть использованы так называемые частотные характеристики: амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - M(w) , фазочастотная характеристика ФЧХ - (w) , амплитуд но- фазовая характеристика АФХ — W(iw)

(Aвых/Aвх)* e^jφ = W(jω).

M(w)= Aвых/Aвх;

^φ(w)= ^{φвых- φвх.}

АЧХ определяется отношением амплитуда выходных колебаний к амплитуде входного сигнала; ФЧХ есть разность фаз выходных и входных колебаний, а АФХ - комплексная функция, для которой АЧХ является модулем, а ФЧХ - аргументом. АФХ может быть получена из дифференциального уравнения, если рассмотреть реакцию объекта на гармонический сигнал вида e^{i W t}

амплитудно-фазовая характеристика может быть получена из передаточной функции заменой р на i W. С изменением частоты колебаний амплитудно- и фазочастотные характеристики изменяются по определенному закону в зависимости от физических свойств объекта. Однако все реальные физические системы обладают одним общим свойством, которое заключается в том, что при увеличении частоты входных колебаний выше некоторого предела Wср объект практически не реагирует на эти колебания, т.е. амплитуда выходных колебаний равна нулю.

W(jω)=A(ω)e^jφ(ω) = P(ω) +jQ(ω).

Амплитудно-фазовая характеристика W(i W) строится в плоскости комплексного переменного и представляет собой годограф вектора, модуль и аргумент которого изменяются в зависимости от частоты.