2.3 Сила давления на плоскую стенку

Д о сих пор рассматривались давления, действующие в жидкости. Однако более важное практическое значение имеют силы, возникающие от действия жидкости на различные стенки.

При определении силы, действующей со стороны жидкости на плоскую стенку, рассмотрим общий случай, когда стенка наклонена к горизонту под углом α, а на свободную поверхность жидкости действует давление р₀ (рисунок 2.5).

Вычислим силу давления F, действующую на некоторый участок рассматриваемой стенки площадью S. Ось Ох направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось Оу — перпендикулярно к этой линии в плоскости стенки.

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

dF = p dS = (p_о + ρ gh) dS = p_о dS + ρ g h d S,

где р_о — давление на свободной поверхности;

h — глубина расположения площадки dS.

Для определения полной силы F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S:

где у — координата площадки dS.

Последний интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси Ох и равсн произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка С), то есть

,

Следовательно

,

здесь h_с — глубина расположения центра тяжести площади S.

Или окончательно получим

(2.5)

т. е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление р_С в центре тяжести этой площади.

В частном случае, когда давление р_о является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, сила F избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе F_ж давления от веса жидкости, т. е.

.

В общем случае давление р_о может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку будем рассматривать как сумму двух сил: F_о от внешнего давления p_о и силы F_ж от веса жидкости, то есть

F = F₀ + F_ж = (p_о + р_С) S.

Найдем точки приложения этих сил, называемых центрами давления.

Так как внешнее давление р_о передается всем точкам площади S одинаково, то его равнодействующая F_о будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы давления F_ж от веса жидкости (точка D) применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, т. е.

,

где y_D — координата точки приложения силы F_ж

Выражая F_ж и dF_ж через у_С и у и определяя y_D, получаем

,

где — момент инерции площади S относительно оси Ох.

Учитывая, что ,

где J_xо — момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Ох, находим

. (2.6)

Таким образом, точка приложения силы F_ж расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними

.

Если давление р_о равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. При р_о выше атмосферного центр давления находят по правилам механики как точку приложения равнодействующей двух сил: F_о и F_ж, чем больше первая сила по сравнению со второй, тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести площади S.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами ахb (рисунок 2.6) и одна из его сторон а лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления D находится на расстоянии b/3 от нижней стороны.