Діаграма Вишнеградського

Вперше критерій стійкості систем, які описуються лінійними диференціальними рівняннями третього порядку зі сталими коефіцієнтами, у виді діаграми запропонував у 1876 р. І. А. Вишнеградський. Діаграму Вишнеградського будують у такий спосіб.

Рис. 9.2. Діаграма Вишнеградського.

Характеристичне рівняння системи , шляхом підстановки приводять до виду

, /9.5/

де - параметри Вишнеградського.

Якщо на площині параметрів А і В побудувати криву (гіперболу) , то вона розділить цю площину на дві області: стійку, де , і нестійку, де (рис. 9.2). Стійку область, І. А. Вишнеградський розділив на підобласті І і ІІ, розмежовані кривими , (крива ab); , (крива сd).

В підобласті І перехідні процеси мають монотонний характер, а в підобласті ІІ - коливальний затухаючий.

Діаграма Вишнеградського дозволяє визначити не тільки стійкість, але і знаходити параметри системи регулювання за заданим характером перехідного процесу.

Критерій стійкості Рауса-Гурвіца

Цей критерій має вигляд нерівностей, складених за особливими правилами з коефіцієнтів характеристичного рівняння. Його застосовують для дослідження стійкості систем, які описуються диференціальними рівняннями вище третього порядку. Нерівності одержують з визначника, який для рівняння n-го порядку має вигляд

. /9.6/

Визначник Δ_n складають у такий спосіб. На головній діагоналі виписують коефіцієнти від до а_п за зростаючими індексами, далі вверх від неї стовпці заповнюють коефіцієнтами зі зростаючими індексами, а вниз - зі спадаючими. Порожні місця, що залишилися, заповнюють нулями.

Гурвіц довів, що для того, щоб дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння виду /9.3/ були від’ємними, необхідно і достатньо, щоб при визначник Δ_n і всі його діагональні мінори, були додатними, тобто

/9.7/

Оскільки визначник , то умову додатності можна замінити умовою . Тоді критерій стійкості систем, які описуються лінійними диференціальними рівняннями n-го порядку, можна записати як

. /9.8/

Розглянемо кілька прикладів визначення умов стійкості для систем різних порядків. Для системи другого порядку характеристичне рівняння і умова стійкості згідно нерівностей /9.8/ приймає вид , тобто зводиться додатних коефіцієнтів характеристичного рівняння системи.

Для системи третього порядку й умови стійкості одержуємо

З цих нерівностей випливає, що для стійкості, крім додатних трьох коефіцієнтів, необхідно ще виконання нерівності . Для рівняння у формі /9.5/ і . Дана нерівність збігається з критерієм стійкості Вишнеградського.

Характеристичне рівняння системи четвертого порядку . Після розкриття визначника Гурвіца умови стійкості мають вигляд:

Аналогічним чином знаходять умови стійкості систем, які описуються рівняннями більш високих порядків. Для рівняння вище другого порядку в умови стійкості входять нерівності. Якщо визначник прирівняти до нуля, то одержують рівняння, що відповідає границі стійкості. Наприклад, для системи четвертого порядку рівняння границі стійкості

. /9.9/

З наведених прикладів випливає, що трудомісткість розрахунків умов стійкості зростає з підвищенням порядку рівняння системи регулювання. Тому критерій Рауса-Гурвіца застосовують для рівнянь не вище шостого порядку. Для систем, які описуються рівняннями вище шостого порядку, менш трудомісткими є частотні критерії.