Вопрос №53 Экстремумы ф-ии. Достаточное условие экстремума

Функция задана на промежутке от a до b. Возьмем некоторую окрестность точки из этого промежутка.

1. Точка х₀ называется точкой MAX функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)>f(x)

2. Точка х₀ называется точкой MIN функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)< f(x)

Значение функций в точках MAX и MIN называется соответственно максимумом и минимумом. Максимум и минимум объединяют общим термином – экстремум функции.

Достаточное условие:

Если при переходе через точку х₀ первая производная меняет знак с «+» на «-» то в точке х₀ максимум, а если с «-» на «+» о в точке х₀ минимум.

Вопрос №54 Экстремумы ф-ии. Необходимое условие экстремума

Функция задана на промежутке от a до b. Возьмем некоторую окрестность точки из этого промежутка.

3. Точка х₀ называется точкой MAX функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)>f(x)

4. Точка х₀ называется точкой MIN функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)< f(x)

Значение функций в точках MAX и MIN называется соответственно максимумом и минимумом. Максимум и минимум объединяют общим термином – экстремум функции.

Необходимое условие:

Если функция   имеет экстремум в точке  , то ее производная   либо равна нулю, либо не существует.

Вопрос №55

Точка перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба

Точка перегиба графика непрерывной функции называется точка, которая разделяет интервалы выпуклости вверх и вниз.

Достаточное условие перегиба:

Если вторая производная дважды дифферен. функции при переходе через точку х₀ меняет свой знак, то эта точка - точка перегиба

Вопрос №56

Направление выпуклости графика ф-ии. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)

Достаточное условие: если  f '' ( x ) < 0 для любого x   ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .