Вопрос №5 Умножение матриц. Свойства умножения

Операция умножения двух матриц А и В определяется только для случая, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В

1. Свойство ассоциативности умножения матриц  .

2. Два свойства дистрибутивности   и  .

3. В общем случае операция умножения матриц некоммутативна  .

4. Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо равенство  , а для произвольной матрицы А порядка n на p - равенство  .

Вопрос №6 Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы  исходная матрица была невырожденной.

 Доказательство.

1)       Необходимость: так как   то   (теорема 3.1), поэтому 

2)       Достаточность: зададим матрицу   в следующем виде:

                  .

Тогда любой элемент произведения    (или  ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны   Таким образом,

                = . Теорема доказана.

Вопрос №7 Линейная независимость элементов линейного пространства. Свойства линейной независимости

Набор элементов линейного пространства называется линейно-независимым, если из равенства нулю линейной комбинации следует, что она тривиальна

(Набор элементов линейного пространства называется лин-зав, если сущ нетривиальная лин.комб, равная нулю)

Cвойства:

1.Если среди элементов набора есть нулевой элемент пространства, то весь набор лин.зав

2. Если среди n-элементов есть m-зависимых, тогда весь набор зависим, следовательно, любое подмножество линейно-независим.множества набора лин-незав

Вопрос №8

Базис линейного пространства. Координаты элементов. Линейные операции

Набор элементов линейного пространства назыв. Базисом, если 1-эти элементы лин-незав, 2-любой элемент лин.пространства мб выражен их лин.комбинацией

Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.

Вопрос №9

СЛАУ. Решение системы. Виды систем

Системой линейных алгебраических уравнений порядка n называется выражение вида:

Решение СЛАУ:

СЛАУ имеет решение, если существует такой упорядоченный набор чисел Х, что при подставлении в систему он обращает все уравнения в тождества

Пример: A= X= B= A*X=B

Типы СЛАУ:

СЛАУ совместна, если она имеет хотя бы одно решение; не совместна, если решений нет

СЛАУ называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если решений бесконечно много

Вопрос №10

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц

Рангом матрицы называется max количество лин-незав строк(столб) матрицы

Элементарные преобразования:

1. Замена мест строк и столбцов (поменять их местами)

2. Транспонирование

3. Домножение стр(стлб) на НЕ нулевую конст

4. К любой стр.(стлб) добавить любую др.стр(стлб), умнож на не нулевую конст

Вопрос №11

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем

Система уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы А_В равен рангу матрицы А.

Rang A_B = Rang A

1. Если ранг матрицы А (Rang A) = числу совместных неизвестных переменных, то система определенная

2. Если Rang A < n(n – кол-во неизвестных), то система неопределенная.

Вопрос №12

Геометрический вектор как элемент линейного пространства (линейные операции и их свойства)

Геометрический вектор – направленный отрезок.

• Сложение векторов:

Правило параллелограмма: суммой 2-ух вектором «а» и «в», имеющих общее начало, называется вектор «с», представляющий собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах «а» и «в».

Правило треугольника: суммой векторов «а» и «в» называется вектор «с», проведенный из начала вектора «а» в конец вектора «в».

Свойства векторов: 1. а+в = в+а – свойство коммуникативности

2. (а+в)+с = а+(в+с) – свойство ассоциативности

3. а *0 = а – закон поглощения нуля.

• Разность векторов:

Разностью векторов «а» и «в» называется вектор «с», который в сумме с вектором «в» дает вектор «а»

• Умножение вектора на число

Произведением вектора «а» на число λ называется вектор «в», коллинеарным вектору «а», имеющий длину |в|=λ*|а|, и совпадающий по направлению с вектором «а», если λ положительная, и имеющий противоположное направление с вектором «а», если λ отрицательная.

Вопрос №13

Коллинеарность векторов. Необходимое и достаточное условие коллинеарности

Если 2 вектора лежат на 1 прямой или на параллельных прямых, то они называются коллинеарными.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  a = ( x, y, z )  и  b = ( u, v, w ) :

  

Вопрос №14

Компланарность векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности

Вектора называются компланарными, если они лежат на 1 плоскости или на параллельных плоскостях.

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов  a = ( x, y, z ),  b = ( u, v, w )  и  c = ( p, q, r ) :  

Вопрос №15

Базис на прямой, на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в ортонормированном базисе

Базис на плоскости и в пространстве:

1. Если вектора «а» и «в» не коллинеарны, тогда совокупность векторов с=αа+βв называется двухмерным векторным пространством [Е²], вектора «а» и «в» - базисы этого пространства, числа α и β – координаты вектора «с» в этом базисе.

2. Если вектора «а», «в» и «с» не компланарны, то совокупность векторов d=αа+βв+γс назыв трехмерным пространством [Е³], где «а», «в» и «с» - базисы этого пространства, а числа α,β и γ – координаты вектора «d» в этом базисе.

Координаты вектора в ортонормированном базисе – это алгебраические проекции вектора на соответствующие оси