Решения задач личной олимпиады 8 класса.

Задача 1. Можно ли расставить в вершинах пятиугольной призмы каких-либо десять положительных чисел так, чтобы суммы чисел на всех семи ее гранях были одинаковы?

Ответ: Нельзя. Решение. Допустим, числа расставлены так, что их сумма на каждой грани равна S. Каждое из чисел находится либо на верхней грани, либо на нижней. Значит, сумма всех 10 чисел должна равняться 2S. С другой стороны, если взять две боковых грани, не граничащие между собой, сумма стоящих на них восьми чисел тоже должна быть равна 2S. Получается, что сумма двух оставшихся чисел должна равняться 0, что невозможно.

Задача 2. За круглым столом сидят 6 мальчиков, изначально у каждого из них по 11 булочек. Каждую минуту один из мальчиков передает одну из имеющихся у него булочек своему соседу по часовой стрелке. Через 51 минуту у первого, третьего и пятого мальчика оказалось по 22 булочки, а у остальных — ни одной. Докажите, что каждый мальчик хотя бы раз передал одну из булочек.

Решение. Понятно, что второй, четвертый и шестой мальчики передали все свои булочки третьему, пятому и первому соответственно. На это ушло 33 минуты. Чтобы занять оставшиеся 18 минут, хотя бы одну булочку должен был передать один из мальчиков с нечетным номером, скажем, первый. Но тогда получивший лишнюю булочку второй должен передать ее третьему, третий — четвертому и т.д., пока она не вернется к первому.

Задача 3. На медосмотр пришли мальчики весом 39 кг и девочки весом 40 кг, всего не более 40 человек. Накануне девочки грозились принести на медосмотр своих хомячков (каждый хомяк весит 1 кг). На медосмотре выяснилось, что мальчики весят в сумме столько же, сколько девочки вместе с хомячками. Докажите, что девочки принесли как минимум 20 хомячков.

Решение. Пусть на медосмотр пришли м мальчиков и д девочек с х хомячками. По условию 39м = 40д+х, то есть 39(м–д) = д+х. Заметим, что м > д, потому что иначе девочки даже без хомячков весили бы больше мальчиков. Поэтому м–д  1, откуда д+х  39. Но девочек не больше 19 (иначе вместе с мальчиками их было бы больше 40). Поэтому х  20, что и требовалось доказать.

Задача 4. Дано натуральное число n, большее 10. Докажите, что существует единственное натуральное m, при любом разбиении которого на два натуральных слагаемых сумма цифр первого слагаемого и сумма цифр второго слагаемого вместе составляют n.

Решение. Поделим число n на 9 с остатком. Получим n = 9q+r, где q  1, поскольку n > 10. (q+1)-значное число r9…9 (q девяток) удовлетворяет условию задачи, потому что если оно равно сумме двух натуральных слагаемых, то при сложении их «в столбик» не будет ни одного переноса из разряда в разряд. Обратно, пусть какое-то число k =   > 10 удовлетворяет условию задачи. Тогда сумма его цифр должна равняться n, потому что его можно представить, как сумму . Допустим, в числе k есть цифра a_m, не стоящая на первом месте и меньшая 9. Тогда при сложении чисел а = 90…0 (m–1 нуль) и b = k–a обязательно будут переносы, и потому сумма цифр чисел а и b будет больше n. Осталось заметить, что числа 1, …, 10 искомыми быть не могут.

Задача 5. I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Оказалось, что CA + AI = CB. Докажите, что CAB = 2ABC.

Решение. Отметим на стороне BC точку K так, чтобы отрезок AC равнялся CK. Тогда отрезок AI симметричен отрезку IK и равен отрезку BK. Следовательно, отрезки IK и BK равны, а тогда KIB=KBI, откуда CAB = 2CAI = 2CKI = 4KBI = 2ABC.