Командная математическая олимпиада 21.02.2004 задания для сеньоров

1.(Омск, город, 6 кл., 2004) Каблук Марьи Ивановны может сломаться, если она идет со скоростью более 4,5 км/ч. Сегодня Марья Ивановна вышла из дома со скоростью 5 км/ч. Когда ей осталось пройти втрое больше, чем она уже прошла, Марья Ивановна решила, что опаздывает на урок, и увеличила скорость до 6 км/ч. Но как только она прошла 40% оставшегося пути, у нее сломался каблук, и ей пришлось пройти оставшийся путь вдвое медленнее. Могла ли Марья Ивановна попасть в школу раньше, чем пришла, и с заведомо целым каблуком?

2.(Санкт-Петербургская олимпиада, 2004, районный тур) Можно ли расставить единицы и тройки в клетках таблицы 58 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел делилась на 7?

3.(И.С. Рубанов) Яак и Тоомас ехали в Таллин. Яак лежал на полке, а Тоомас смотрел в окно. "Далеко ли до Таллина?" — спросил Яак у Тоомаса в 12.00. "73 километра" — ответил Тоомас. На тот же вопрос, заданный в 12.15 и 12.45, Тоомас ответил: "62 километра" и "37 километров". Известно, что Тоомас каждый раз округлял расстояние до ближайшего целого числа (а если таких было два — то до любого из них по своему выбору). Найдите скорость поезда, если известно, что она была постоянной. Укажите все возможности и докажите, что других нет.

4.(С.Л. Берлов) Можно ли из натуральных чисел от 1 до 12 составить шесть правильных дробей так, чтобы сумма этих дробей была целой и каждое число было использовать ровно один раз. Напомним, что правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

5.(С.Л. Берлов) Точка M — середина стороны BC выпуклого четырехугольника ABCD, в котором AC = BD = AD. Оказалось, что угол AMD — прямой. Чему может быть равен угол между диагоналями четырехугольника ABCD?

6.(по мотивам Санкт-Петербургской олимпиады, 2004, районный тур) Докажите, что если 0   x, y  1, то x⁵ + y⁵ + (x – y)⁵  2.

7. (Д.В. Карпов) В стране, состоящей из двух республик A и B, из городов республики А провели несколько дорог с односторонним движением в города республики B так, что из каждого города республики A выходит хотя бы одна дорога, а в каждый город республики B входит хотя бы одна дорога. В республиках по 100 городов. Докажите, что можно провести не более, чем 100 новых дорог с односторонним движением так, чтобы из любого города можно было проехать в любой другой, не нарушая правил. Разрешается соединять два города несколькими дорогами.

Задания для юниоров

1.(Омск, город, 6 кл., 2004) Каблук Марьи Ивановны может сломаться, если она идет со скоростью более 4,5 км/ч. Сегодня Марья Ивановна вышла из дома со скоростью 5 км/ч. Когда ей осталось пройти втрое больше, чем она уже прошла, Марья Ивановна решила, что опаздывает на урок, и увеличила скорость до 6 км/ч. Но как только она прошла 40% оставшегося пути, у нее сломался каблук, и ей пришлось пройти оставшийся путь вдвое медленнее. Могла ли Марья Ивановна попасть в школу раньше, чем пришла, и с заведомо целым каблуком?

2.(И.С. Рубанов) На острове Невезения каждый житель либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжет. Однажды собрались трое островитян: Первый, Второй и Третий. Первый сказал Третьему: "Второй говорил, что ты — лжец". Третий сказал Второму: "Первый говорил, что ты — лжец". Второй сказал Первому: " Третий говорил, что ты — лжец". Сколько среди этих троих могло быть лжецов? Укажите все возможности и докажите, что других нет.

3.(С.Л. Берлов) Ожерелье сделано из 50 красных и 50 синих бусин. Докажите, что найдутся десять идущих подряд бусин, среди которых поровну синих и красных.

4.(И.С. Рубанов) Яак и Тоомас ехали в Таллин: Яак лежал на полке, а Тоомас смотрел в окно. "Далеко ли до Таллина?" — спросил Яак у Тоомаса в 12.00. "73 километра" — ответил Тоомас. На тот же вопрос, заданный в 12.15 и 12.45, Тоомас ответил: "62 километра" и "37 километров". Известно, что Тоомас каждый раз округлял расстояние до ближайшего целого числа. Найдите скорость поезда, если известно, что она была постоянной. Укажите все возможности и докажите, что других нет.

5.(С.Л. Берлов) Можно ли из натуральных чисел от 1 до 12 составить шесть правильных дробей так, чтобы сумма этих дробей была целой и каждое число было использовать ровно один раз. Напомним, что правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

6.(С.Л. Берлов) Точка M — середина стороны BC выпуклого четырехугольника ABCD, в котором AC = BD = AD. Оказалось, что угол AMD — прямой. Чему может быть равен угол между диагоналями четырехугольника ABCD?

7.(Д.В. Карпов) В стране, где 200 городов, провели несколько дорог с односторонним движением так, что из каждого города выходит хотя бы одна дорога и в каждый город входит хотя бы одна дорога. Докажите, что можно провести не более, чем 100 новых дорог с односторонним движением так, чтобы из любого города можно было проехать в любой другой, не нарушая правил. Разрешается соединять два города несколькими дорогами.