Личная олимпиада 21.02.2004 задания для 8 класса

1 .(И.С. Рубанов) Можно ли расставить в вершинах пятиугольной призмы (см. рисунок) десять каких-либо положительных чисел так, чтобы суммы чисел на всех семи ее гранях были одинаковы?

2.(О.Ю. Ванюшина, Санкт-Петербургская районная олимпиада, 2004) За круглым столом сидят 6 мальчиков, изначально у каждого из них по 11 булочек. Каждую минуту один из мальчиков передает одну из имеющихся у него булочек своему соседу по часовой стрелке. Через 51 минуту у первого, третьего и пятого мальчика оказалось по 22 булочки, а у остальных — ни одной. Докажите, что каждый мальчик хотя бы раз передал одну из булочек.

3.(Кирилл Сухов, Санкт-Петербургская олимпиада, 2004) На медосмотр пришли мальчики весом 39 кг и девочки весом 40 кг, всего не более 40 человек. Накануне девочки грозились принести на медосмотр своих хомячков (каждый хомяк весит 1 кг). На медосмотре выяснилось, что мальчики весят в сумме столько же, сколько девочки вместе с хомячками. Докажите, что девочки принесли как минимум 20 хомячков.

4.(Шведская олимпиада, 1997 г.) Дано натуральное число n, большее 10. Докажите, что существует единственное натуральное m, при любом разбиении которого на два натуральных слагаемых сумма цифр первого слагаемого и сумма цифр второго слагаемого вместе составляют n.

5.(Сrux, 2000) I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Оказалось, что CA + AI = CB. Докажите, что CAB = 2ABC.

З адания для 7 класса

1.(И.С. Рубанов) Можно ли расставить в вершинах треугольной призмы (см. рисунок) шесть каких-либо положительных чисел так, чтобы суммы чисел на всех пяти ее гранях были одинаковы?

2.(Омск, город, 6 кл., 2004) Лиса Алиса и Кот Базилио предложили Буратино заработать денег. Буратино должен выписать в строчку цифры от 1 до 9, и за каждое двузначное число в этой цепочке, делящееся на три, они обещали дать Буратино один сольдо. На какую максимальную сумму дохода может рассчитывать Буратино?

3.(С.Л. Берлов) В первой четверти ученики 7 и 8 классов Пупкинской средней школы получали только тройки, четверки и пятерки. В конце четверти оказалось, что средний балл девочек-семиклассниц по крайней мере на 1 больше, чем средний балл девочек-восьмиклассниц, а средний балл мальчиков-семиклассников был по крайней мере на 1 больше, чем средний балл мальчиков-восьмиклассников. Докажите, что средний балл всех семиклассников не меньше среднего балла всех восьмиклассников.

4.(С.Л. Берлов) На биссектрисе CL треугольника ABC выбрана точка K. Оказалось, что AC + AK = CB. Докажите, что CAK = 2CBK.

5.(Шведская олимпиада, 1997 г.) Дано натуральное число n, большее 10. Докажите, что существует единственное натуральное m, при любом разбиении которого на два натуральных слагаемых сумма цифр первого слагаемого и сумма цифр второго слагаемого вместе составляют n.

Задания для 6 класса

1.(Санкт-Петербургская олимпиада, 2004, районный тур) Можно ли на прямой отметить точки A, B, C, D, E так, чтобы расстояния между ними в сантиметрах оказались равны: AB = 6, BC = 7, CD = 10, DE = 9, AE = 12? Если да — приведите пример, если нет — объясните, почему нельзя.

2.(Санкт-Петербургская олимпиада, 2004, районный тур) Шестизначный номер называется почти счастливым, если сумма трех каких-то его цифр равна сумме трех остальных. Рома взял в троллейбусе два билета подряд. Их номера оказались почти счастливыми. Докажите, что один из этих номеров заканчивается на 9.

3.(Омск, город, 6 кл., 2004) Лиса Алиса и Кот Базилио предложили Буратино заработать денег. Буратино должен выписать в строчку цифры от 1 до 9, и за каждое двузначное число в этой цепочке, делящееся на три, они обещали дать Буратино один сольдо. На какую максимальную сумму дохода может рассчитывать Буратино?

4.(О.Ю. Ванюшина, Санкт-Петербургская районная олимпиада, 2004) За круглым столом сидят 6 мальчиков, изначально у каждого из них по 11 булочек. Каждую минуту один из мальчиков передает одну из имеющихся у него булочек своему соседу по часовой стрелке. Через 51 минуту у первого, третьего и пятого мальчика оказалось по 22 булочки, а у остальных — ни одной. Докажите, что каждый мальчик хотя бы раз передал одну из булочек.

5.(Кирилл Сухов, Санкт-Петербургская олимпиада, 2004) На медосмотр пришли мальчики весом 39 кг и девочки весом 40 кг, всего не более 40 человек. Накануне девочки грозились принести на медосмотр своих хомячков (каждый хомяк весит 1 кг). На медосмотре выяснилось, что мальчики весят в сумме столько же, сколько девочки вместе с хомячками. Докажите, что девочки принесли как минимум 20 хомячков.