Математический бой №4. 26.02.2004 первая юниорская лига

1. Ответ: 14. Утв. 1: если в какой-то строке и каком-то столбце стоит поровну рыцарей, то на пересечении этих строки и столбца стоит рыцарь. Утв. 2: если в строке находятся k рыцарей, то во всех столбцах, в которых они находятся, рыцари стоят в одних и тех же строках – таким образом, после перестановки строк и столбцов рыцари образуют квадрат со стороной k. Утв. 3: размеры всех таких квадратов различны.

Таким образом, с точностью до перестановки строк и столбцов рыцари могут а) занимать квадраты со сторонами 1, 2 и 3; б) занимать квадраты со сторонами 2 и 4; в) занимать квадраты со сторонами 1 и 5; г) занимать полностью квадрат со стороной 6. Минимальное число рыцарей при этом равно 14 = 9 + 4 + 1.

2. Заменим последовательно плюсы на минусы, каждый раз меняя самый левый из плюсов. Таким образом, любая строка сводится к одной из 16. Ни одна из этих строк не переводится друг в друга.

3. Ответ: p = 3. (Решаем уравнение 8p = (n – 1)(n + 1).)

4. Будем говорить, что точка портит натуральное число n, если ее абсцисса – несократимая дробь со знаменателем n. Аналогично определим «порчу» и по ординате (m). Очевидно, что каждая точка портит все числа, кратные n и m и только их. Таким образом, 5 точек могут испортить не более 10 попарно взаимно простых натуральных чисел. А поскольку мы можем взять и 11-е число, попарно взаимно простое со всеми остальными, то оно будет не испорченным.

5. Заметим, что если старшая цифра равна 9, то при умножении на 9 старшая цифра уменьшится. Если старшая цифра 6, 7 или 8, то уменьшение произойдет не позже чем через 2 умножения. Для старшей цифры 3, 4, 5 уменьшение происходит не позднее чем через три умножения на 9, а для старшей цифры 2 – не позднее чем через 4 умножения. Кроме этого, заметим, что старшая цифра, большая 1, в результате умножения не может измениться более чем на 1. Таким образом, через старшую цифру, равную 1, мы в результате последовательных умножений на 9 не можем «перепрыгнуть», а это значит, что старшая цифра 1 будет встречаться при умножениях бесконечное число раз.

6. Все члены последовательности, начиная с четвертого, равны 1.

7. Заметим, что из 1)+2) следует «3) либо 4)», из 1)+3) следует 2), из 1)+4) следует 2), из 2)+3) следует 1) и из 2)+4) следует 1). Таким образом, ровно двумя истинными утверждениями могут оказаться только 3)+4). При этом периметр треугольника равен 1 + 2 + 2 = 5.

8. Построим треугольник, стороны которого будут суммами данных отрезков. Самый длинный отрезок объявим одной из его сторон. Остальные отрезки выложим в ряд. Получится "длинный" отрезок, поделенный на части, равные исходным отрезкам. Возьмем точку деления, ближайшую к середине "длинного" отрезка. Она разобьет его на части, равные двум другим сторонам искомого треугольника.

Математический бой №4. 26.02.2004 вторая юниорская лига

1. Ответ: 5. Лемма: если в какой-то строке и каком-то столбце стоит поровну рыцарей, то на пересечении этих строки и столбца стоит рыцарь.

Рассмотрим ряд (для определенности, строку), в которой стоит наибольшее число рыцарей. 1) Если их 3, то в каждом столбце с ними еще по два рыцаря (всего – 3), то есть лжецов на доске нет. Противоречие. 2) Пусть таких рыцарей всего два (для определенности, они стоят в первой строке в первом и втором столбцах). Тогда рыцари образуют квадрат 22, а на остальных местах в этих строках и столбцах - лжецы. Тогда в последней строке и столбце – рыцарь, а всего рыцарей 5. 3) В каждой строке (и каждом столбце) – не более одного рыцаря. Тогда без ограничения общности можно считать, что они стоят на диагонали исходного квадрата, однако тогда все лжецы сказали правду. Снова противоречие.

2. Заменим последовательно плюсы на минусы, каждый раз меняя самый левый из плюсов. Таким образом, любая строка сводится к одной из четырех (все минусы и «плюс-плюс», все минусы и «минус-плюс», все минусы и «плюс-минус», вообще все минусы). Ни одна из этих строк не переводится друг в друга.

3. Ответ: p = 2. (Решаем уравнение 4p = (n – 1)(n + 1).)

4. Будем говорить, что точка портит натуральное число n, если ее абсцисса – несократимая дробь со знаменателем n. Аналогично определим «порчу» и по ординате (m). Очевидно, что каждая точка портит все числа, кратные n и m и только их. Таким образом, две точки могут испортить не более 4 попарно взаимно простых натуральных чисел. А поскольку мы можем взять пять чисел, попарно взаимно простых (например, 2, 3, 5, 7, 11), то какое-то из них будет не испорченным.

5. Заметим, что если старшая цифра равна 9, то при умножении на 9 старшая цифра уменьшится. Если старшая цифра 6,7 или 8, то уменьшение произойдет не позже чем через 2 умножения. Для старшей цифры 3,4,5 уменьшение происходит не позднее чем через три умножения на 9, а для старшей цифры 2 – не позднее чем через 4 умножения. Кроме этого, заметим, что старшая цифра, большая 1, в результате умножения не может измениться более чем на 1. Таким образом, через старшую цифру, равную 1, мы в результате последовательных умножений на 9 не можем «перепрыгнуть», а это значит, что старшая цифра 1 будет встречаться при умножениях бесконечное число раз.

6. Все члены последовательности, начиная с четвертого, равны 1.

7. Заметим, что из 1)+2) следует «3) либо 4)», из 1)+3) следует 2), из 1)+4) следует 2), из 2)+3) следует 1) и из 2)+4) следует 1). Таким образом, ровно двумя истинными утверждениями могут оказаться только 3)+4). При этом периметр треугольника равен 1 + 2 + 2 = 5.

8. Пусть a₁  a₂  a₃  a₄. Построим треугольник со сторонами a₁ + a₂, a₃, a₄. Получили вырожденный четырехугольник. Проведем в нем диагональ и отразим один из двух составляющих его треугольников относительно серединного перпендикуляра к этой диагонали. В результате получится невырожденный четырехугольник.

Ответ: 7926,5+7926,5=15853. Турнир Кванта, 1995.