Первая лига

1. Ответ: 4612=922. Обозначим эти делители через a и b. Поскольку 463 — простое число, a и b взаимно просты. Поскольку 463 – нечетное число, одно из чисел a, b (скажем, a) – четно, а другое – нечетно. Заметим, что тогда числа ab и 2b — также делители числа n, поэтому либо a=2, либо ab = n, 2b = a, первый случай дает ответ, второй невозможен из-за взаимной простоты a и b.

Если сразу считается, что число – произведение двух простых, дыра = 10 баллов. Если без обоснования считается, что два максимальных делителя получаются делением n на минимальные простые числа, то дыра не менее 6 баллов. Формальной проверки простоты числа 463 не требовать!

2. См. решение задачи 2 высшей лиги.

3. Обозначим числа по кругу: m, n, p, q, r. Рассмотрим суммы S₁ = m+n, S₂ = n+p, S₃ = p+q, S₄ = q+r, S₅ = r+m. Поскольку S₁+S₂+S₃+S₄+S₅ = 2, среди этих пяти сумм есть положительная. Поскольку знаки сумм в последовательности S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₁ не могут чередоваться, найдутся две неотрицательные суммы, образованные тремя стоящими подряд числами (пусть m, n и p). Если m+n+p  0 — искомые числа найдены. В противном случае m, p < 0, n > 0. Если p+q  0 или r+m  0, то искомые числа — n, p, q или r, m, n соответственно. А случай p+q < 0 и r+m < 0 невозможен, ибо тогда m+n+p+q+r < n  1.

4. См. решение задачи 4 высшей лиги.

5. См. решение задачи 5 высшей лиги.

6. См. решение задачи 6 высшей лиги.

7. Поскольку каждый город — маленький юго-восточный, то по отношению к Задворску он либо меньше, либо южнее, либо восточнее. Значит, Задворск по отношению к любому городу либо больше, либо севернее, либо западнее, то есть он большой северо-западный.

Задача чревата неверными пониманиями условия.

8. См. решение задачи 8 высшей лиги.

Вторая лига

1. Пусть слагаемые были равны a и b. Шпунтик заменил b на 10b, то есть увеличил сумму на 9b. Винтик же изменил сумму на m/10ⁿ, где m — разность между замененной и исходной цифрами. Получается, что 9b10ⁿ = m, то есть m делится на 9. Это возможно только если Винтик заменил 0 на 9.

2. Легко проверить, что х = 2004 подходит. Поскольку уравнение линейное (и коэффициент при х явно не равен 0), других решений у него нет.

Неупоминание неравенства коэффициента при х нулю – дыра в 2 балла

3. См. решение задачи 7 первой лиги.

4. См. решение задачи 4 высшей лиги.

5. См. решение задачи 6 высшей лиги.

6. Расположим мысленно горшки в виде магического квадрата 3  3 (вертикали – {8,3,4}, {1,5,9}, {6,7,2}, горизонтали – (8,1,6), (3,5,7), (4,9,2)). Взвешивая горшки одного горизонтального ряда с горшками другого горизонтального ряда, узнаем, в каком горизонтальном ряду находится горшок с сыром. Аналогично вторым взвешиванием узнаем вертикальный ряд.

7. Нельзя. Простые трехзначные числа могут оканчиваться только на 1, 3, 7 и 9, а в нижней строке и правом столбце таблицы — 5 клеток.

8. Треугольники ABD и EDB равны по трем сторонам, поэтому углы ABD и EDB равны, также равны углы CDB и CBD. Поэтому угол ABC равен углу CDE, а значит, равны и треугольники ABC и CDE, откуда AC = CE.

Перед боем предъявить картинку к этой задаче и сказать, что она именно такая. Картинку нарисуют на разборе.