Математический бой №4. 26.02.2004 первая юниорская лига

1.(С.Л. Берлов) В каждой клетке квадрата 6  6 стоит рыцарь или лжец. Каждый из них сказал, что в одной строке с ним стоит столько же лжецов, сколько в одном столбце с ним. Какое наименьшее число рыцарей могло стоять на доске?

2.(Белоруссия, 2000) В строчку выписаны 2004 знака «+» и «–». Разрешается сменить на противоположные любые 5 последовательных знаков. Какое наибольшее количество строчек, не переводимых друг в друга такими операциями, можно написать?

3.(Lapok 1970:11 F1737) Найдите простые числа p, для которых 8p + 1 – точный квадрат.

4.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Строго внутри квадрата выбрали 5 точек. Докажите, что найдется такое натуральное n > 1, что квадрат можно разбить на n² маленьких квадратиков таким образом, что никакая из отмеченных точек не попадет на стороны или в вершины маленьких квадратиков.

5.(К.А. Кноп + фольклор) Докажите, что количество натуральных степеней девятки, начинающихся с 1, бесконечно.

6.(Эстония, 1997) Последовательность a_k удовлетворяет условиям a₁ = 2003, a₂ = 2004, a₁ + a₂ + … + a_n = n. Найдите a₂₀₀₄.

7.(Фольклор) Про треугольник АВС сделаны четыре высказывания: 1) треугольник АВС — прямоугольный; 2) А = 30; 3) АВ = 2ВC; 4) АС = 2ВC. Известно, что два из этих высказываний верны, а два — ложны. Найдите периметр треугольника, если известно, что ВС = 1.

8.(Lapok 1988:4, #2484) Отрезки a₁, a₂, …, a_n таковы, что каждый из них меньше половины суммы всех. Докажите, что из этих отрезков можно составить многоугольник, в котором стороны идут в указанном порядке.

Математический бой №4. 26.02.2004 вторая юниорская лига

1.(С.Л. Берлов) В каждой клетке квадрата 3  3 стоит рыцарь или лжец. Каждый из них сказал, что в одной строке с ним стоит столько же лжецов, сколько в одном столбце с ним. Какое число рыцарей может стоять на доске, если на ней есть хотя бы один лжец?

2.(Белоруссия, 2000) В строчку выписаны 2004 знака «+» и «–». Разрешается сменить на противоположные любые 3 последовательных знака. Какое наибольшее количество строчек, не переводимых друг в друга такими операциями, можно написать?

3.(Lapok 1970:11 F1737) Найдите простые числа p, для которых 4p + 1 – точный квадрат.

4.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Строго внутри квадрата выбрали две точки. Докажите, что найдется такое натуральное n > 1, что квадрат можно разбить на n² маленьких квадратиков таким образом, что никакая из отмеченных точек не попадет на стороны или в вершины маленьких квадратиков.

5.(К.А. Кноп + фольклор) Докажите, что количество натуральных степеней девятки, начинающихся с 1, бесконечно.

6.(Эстония, 1997) Последовательность a_k удовлетворяет условиям a₁ = 2003, a₂ = 2004, a₁ + a₂ + … + a_n = n. Найдите a₂₀₀₄.

7.(Фольклор) Про треугольник АВС сделаны четыре высказывания: 1) треугольник АВС — прямоугольный; 2) А = 30; 3) АВ = 2ВC; 4) АС = 2ВC. Известно, что два из этих высказываний верны, а два — ложны. Найдите периметр треугольника, если известно, что ВС = 1.

8.(Lapok 1988:4, #2484) Отрезки a₁, a₂, a₃, a₄ таковы, что каждый из них меньше половины суммы всех отрезков. Докажите, что из этих отрезков можно составить четырехугольник.