Математический бой №4. 26.02.2004 вторая лига

1.(С.Л. Берлов) В каждой клетке квадрата 4  4 стоит рыцарь или лжец. Каждый из них сказал, что в одной строке с ним стоит столько же лжецов, сколько в одном столбце с ним. Какое число рыцарей может стоять на доске, если на ней есть хотя бы один лжец?

2.(Белоруссия, 2000) В строчку выписаны 2004 знака «+» и «–». Разрешается сменить на противоположные любые 3 последовательных знака. Какое наибольшее количество строчек, не переводимых друг в друга такими операциями, можно написать?

3.(Lapok 1970:11 F1737) Найдите простые числа p, для которых 8p + 1 – точный квадрат.

4.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Строго внутри квадрата выбрали 100 точек. Докажите, что найдется такое натуральное n > 1, что квадрат можно разбить на n² маленьких квадратиков таким образом, что никакая из отмеченных точек не попадет на стороны или в вершины маленьких квадратиков.

5.(К.А. Кноп + фольклор) Докажите, что количество натуральных степеней девятки, начинающихся с 1, бесконечно.

6.(Эстония, 1997) Последовательность a_k удовлетворяет условиям a₁ = 2003, a₂ = 2004, a₁ + a₂ + … + a_n = n. Найдите a₂₀₀₄.

7.(Фольклор) Про треугольник АВС сделаны четыре высказывания: 1) треугольник АВС — прямоугольный; 2) А = 30; 3) АВ = 2ВC; 4) АС = 2ВC. Известно, что два из этих высказываний верны, а два — ложны. Найдите периметр треугольника, если известно, что ВС = 1.

8.(Lapok 1988:4, #2484) Отрезки a₁, a₂, a₃, a₄ таковы, что каждый из них меньше половины суммы всех. Докажите, что из этих отрезков можно составить четырехугольник.

Математический бой №4. 26.02.2004 высшая юниорская лига

1.(Румыния, отбор на юниорскую Балканиаду, 2003) Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что MAB = MBC = BME = , где E – середина стороны CD. Чему может быть равен угол ?

2.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Строго внутри квадрата выбрали 2004 точки. Докажите, что найдется такое натуральное n > 1, что квадрат можно разбить на n² маленьких квадратиков таким образом, что никакая из отмеченных точек не попадет на стороны или в вершины маленьких квадратиков.

3.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Дан набор P из 2004 различных простых чисел. Докажите, что можно выбрать несколько простых чисел из P (можно одно, но не все) таким образом, что их произведение, уменьшенное на единицу, будет иметь простой делитель, не входящий в P.

4.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) На сторонах AB и AD ромба ABCD со стороной 1 выбрали точки M и N таким образом, что 2MCN = DCB. Докажите, что периметр треугольника AMN не меньше 2.

5.(По мотивам Baltic Way-2000) Даны 2 натуральных числа a и b причем a заканчивается цифрой 1, а b – цифрой 2. Докажите, что найдется такое натуральное число k, что при сложении “в столбик” чисел ka и kb не будет переносов.

6.(С.Л. Берлов) В каждой клетке шахматной доски 8 × 8 стоит либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжет. Каждый из стоящих на доске произнес фразу: “в одной строке со мной столько же рыцарей, сколько и в одном столбце”. Докажите, что лжецов на доске – четное число.

7.(По мотивам Baltic Way-2000) Числа a, b, c, x, y, z, удовлетворяют условию: a + b + c = x + y + z. Докажите, что .

8.(Белорусские олимпиады, 2000) В строчку выписаны 2004 знака «+» и «–». Разрешается сменить на противоположные любые 5 последовательных знаков. Какое наибольшее количество строчек, не переводимых друг в друга такими операциями, можно написать?