Математический бой №4. 26.02.2004 высшая лига (бои за 5-8 места)

1.(Фольклор) Про треугольник АВС сделаны четыре высказывания: 1) треугольник АВС — прямоугольный; 2) А = 30; 3) АВ = 2ВC; 4) АС = 2ВC. Известно, что два из этих высказываний верны, а два — ложны. Найдите периметр треугольника, если известно, что ВС = 1.

2.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Строго внутри квадрата выбрали 2004 точки. Докажите, что найдется такое натуральное n > 1, что квадрат можно разбить на n² маленьких квадратиков таким образом, что никакая из отмеченных точек не попадет на стороны или в вершины маленьких квадратиков.

3.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Дан набор P из 2004 различных простых чисел. Докажите, что можно выбрать несколько простых чисел из P (можно одно, но не все) таким образом, что их произведение, уменьшенное на единицу, будет иметь простой делитель, не входящий в P.

4.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) На сторонах AB и AD ромба ABCD со стороной 1 выбрали точки M и N таким образом, что 2MCN = DCB. Докажите, что периметр треугольника AMN не меньше 2.

5.(По мотивам Baltic Way 2000) Даны 2 натуральных числа a и b причем a заканчивается цифрой 1, а b – цифрой 2. Докажите, что найдется такое натуральное число k, что при сложении “в столбик” чисел ka и kb не будет переносов.

6.(С. Л. Берлов) В каждой клетке шахматной доски 8 × 8 стоит либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжет. Каждый из стоящих на доске произнес фразу: «в одной строке со мной столько же рыцарей, сколько и в одном столбце». Докажите, что на доске четное число лжецов.

7.(По мотивам Baltic Way - 2000) Числа a, b, c, x, y, z, удовлетворяют условию: a + b + c = x + y + z. Докажите, что .

8.(Санкт-Петербург 2004, 2 тур) На складе стояли бочонки с медом весом 1000, 1001, …, 2004 грамма, причем на каждом бочонке был написан его вес. Грузчики уронили в бочонки с медом несколько рублевых монет весом 1 грамм каждая. (В один бочонок могло попасть более одной монеты.) У кладовщика есть двухчашечные весы без гирь – они показывают, на какой из чашек лежит больший вес. Как ему при помощи нескольких взвешиваний на этих весах найти хотя бы один бочонок с рублем?

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №4. 26.02.2004

Первая лига

1.(Фольклор) Про треугольник АВС сделаны четыре высказывания: 1) треугольник АВС — прямоугольный; 2) А = 30; 3) АВ = 2ВC; 4) АС = 2ВC. Известно, что два из этих высказываний верны, а два — ложны. Найдите периметр треугольника, если известно, что ВС = 1.

2.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Строго внутри квадрата выбрали 2004 точки. Докажите, что найдется такое натуральное n > 1, что квадрат можно разбить на n² маленьких квадратиков таким образом, что никакая из отмеченных точек не попадет на стороны или в вершины маленьких квадратиков.

3.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Дан набор P из 2004 различных простых чисел. Докажите, что можно выбрать несколько простых чисел из P (можно одно, но не все) таким образом, что их произведение, уменьшенное на единицу, будет иметь простой делитель, не входящий в P.

4.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) На сторонах AB и AD ромба ABCD со стороной 1 выбрали точки M и N таким образом, что 2MCN = DCB. Докажите, что периметр треугольника AMN не меньше 2.

5.(По мотивам Baltic Way 2000) Даны 2 натуральных числа a и b причем a заканчивается цифрой 1, а b – цифрой 2. Докажите, что найдется такое натуральное число k, что при сложении “в столбик” чисел ka и kb не будет переносов.

6.(С. Л. Берлов) В каждой клетке шахматной доски 8 × 8 стоит либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжет. Каждый из стоящих на доске произнес фразу: «в одной строке со мной столько же рыцарей, сколько и в одном столбце». Докажите, что на доске четное число лжецов.

7.(По мотивам Baltic Way - 2000) Числа a, b, c, x, y, z, удовлетворяют условию: a + b + c = x + y + z. Докажите, что .

8.(Санкт-Петербург 2004, 2 тур) На складе стояли бочонки с медом весом 1000, 1001, …, 2004 грамма, причем на каждом бочонке был написан его вес. Грузчики уронили в бочонки с медом несколько рублевых монет весом 1 грамм каждая. (В один бочонок могло попасть более одной монеты.) У кладовщика есть двухчашечные весы без гирь – они показывают, на какой из чашек лежит больший вес. Как ему при помощи нескольких взвешиваний на этих весах найти хотя бы один бочонок с рублем?