Математический бой №4. 26.02.2004 высшая лига. Финал (бой за 1 место)

1.(Румыния, отбор на Юниорскую Балканиаду, 2003). Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что MAB = MBC = BME = , где E – середина стороны CD. Чему может быть равен угол ?

2.(Санкт-Петербург 2004, 2 тур) У каждого из чисел от 910ⁿ до 1210ⁿ выбрали делитель, меньший его самого. Докажите, что хотя бы два из этих делителей совпадают.

3.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Дан набор P из 2004 различных простых чисел. Докажите, что можно выбрать несколько простых чисел из P (можно одно, но не все) таким образом, что их произведение, уменьшенное на единицу, будет иметь простой делитель, не входящий в P.

4.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) На сторонах AB и AD ромба ABCD со стороной 1 выбрали точки M и N таким образом, что 2MCN = DCB. Докажите, что периметр треугольника AMN не меньше 2.

5. (Олимпиада 239 школы, 2003 г.) Произведение натуральных чисел p и q – куб натурального числа t  p. Докажите, что .

6.(С.Л. Берлов) В каждой клетке квадрата n  n стоит рыцарь или лжец. Каждый из них сказал, что в одной строке с ним стоит столько же лжецов, сколько в одном столбце с ним. Докажите, что количество лжецов четно.

7.(По мотивам Baltic Way - 2000) Числа a₁, a₂, …, a₁₀₀ и b₁, b₂, …, b₁₀₀, удовлетворяют условию a₁+a₂+…+a₁₀₀=b₁+b₂+…+b₁₀₀. Докажите неравенство

8.(Олимпиада 239 школы, 2003 г.) Дано нечетное простое число p. Рассмотрим множество R = {r₁, r₂, …, r_p-1} всех натуральных чисел, меньших p. Через a_i обозначим количество непустых подмножеств J множества {1, 2, …, p–1}, для которых сумма имеет остаток i от деления на p. Докажите, что a₀ = a₁.

Математический бой №4. 26.02.2004 высшая лига (бой за 3 место)

1.(Румыния, отбор на Юниорскую Балканиаду, 2003). Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что MAB = MBC = BME = , где E – середина стороны CD. Чему может быть равен угол ?

2.(Санкт-Петербург 2004, 2 тур) У каждого из чисел от 910ⁿ до 1210ⁿ выбрали делитель, меньший его самого. Докажите, что хотя бы два из этих делителей совпадают.

3.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) Дан набор P из 2004 различных простых чисел. Докажите, что можно выбрать несколько простых чисел из P (можно одно, но не все) таким образом, что их произведение, уменьшенное на единицу, будет иметь простой делитель, не входящий в P.

4.(По мотивам румынских олимпиад 2003 г.) На сторонах AB и AD ромба ABCD со стороной 1 выбрали точки M и N таким образом, что 2MCN = DCB. Докажите, что периметр треугольника AMN не меньше 2.

5.(По мотивам Baltic Way 2000) Даны 2 натуральных числа a и b причем a заканчивается цифрой 1, а b – цифрой 2. Докажите, что найдется такое натуральное число k, что при сложении “в столбик” чисел ka и kb не будет переносов.

6.(С.Л. Берлов) В каждой клетке квадрата n  n стоит рыцарь или лжец. Каждый из них сказал, что в одной строке с ним стоит столько же лжецов, сколько в одном столбце с ним. Докажите, что количество лжецов четно.

7.(По мотивам Baltic Way - 2000) Числа a₁, a₂, …, a₁₀₀ и b₁, b₂, …, b₁₀₀, удовлетворяют условию a₁+a₂+…+a₁₀₀=b₁+b₂+…+b₁₀₀. Докажите неравенство

8.(Белорусские олимпиады, 2000) В строчку выписаны 2004 знака «+» и «–». Разрешается сменить на противоположные любые 5 последовательных знаков. Какое наибольшее количество строчек, не переводимых друг в друга такими операциями, можно написать?