Математический бой №3. 25.02.2004 вторая юниорская лига
1.(фольклор) Отрезок длины 65 разбит на отрезки, длина каждого из которых – натуральное число, не большее 4. Докажите, что можно выбрать несколько из них так, чтобы сумма их длин равнялась 32 или 33.
2.(К.А. Кноп) Число, кратное 7, представлено в виде суммы нескольких (не обязательно различных) степеней двойки. Докажите, что в этой сумме не менее трех слагаемых.
3.(по мотивам Lapok 1988:5, Gy 2693) Среди любых 10 из данных 19 чисел есть пара таких, сумма которых – четное число. Докажите, что хотя бы одно из данных 19 чисел – целое.
4
.(Омск,
город, 6 кл., 2004)
Деталь из конструктора «Юный электрик»
выглядит как квадрат из 9 клеток. В 8
клетках
отверстия с электрическими контактами
(как в розетке). Внутри детали каждый
контакт соединен проводком ровно с
одним контактом – из соседней (по
стороне) клетки, всего 4 проводка. Прибор
ТЕСТЕР позволяет определить, есть ли
соединение между двумя контактами.
Можно ли за два включения ТЕСТЕРА узнать,
как соединены контакты внутри детали?
5.(С.Л. Берлов) Имеется 17 одинаковых по виду камней, веса которых – 994, 995, …, 1010 граммов и прибор, умеющий из трех монет определять средний по весу камень. Докажите, что с помощью 15 применений этого прибора можно определить пару камней, в сумме весящих ровно 2004 грамма.
6.(По мотивам задачи с болгарских соревнований 2001 г) На стороне BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C выбрана точка P. Из точки C опущены перпендикуляры CN на AP и CM на AB. На отрезке AP выбрана такая точка L, что AL = CN. Докажите, что LMN = 90.
7.(Фольклор) 2004-угольник разбит некоторыми своими диагоналями на треугольники (все вершины этих треугольников – вершины исходного 2004-угольника). Может ли при этом из каждой вершины выходить четное число диагоналей?
8.(Жюри) Ковер имеет форму прямоугольника со сторонами 21 см и 19 см. Чебурашка отрезал от него уголок – прямоугольник со сторонами 4 см и 8 см (4 отрезано от 21, а 8 – от 19). Докажите, что крокодил Гена сумеет разрезать оставшуюся часть ковра на пять квадратных ковриков.
Блиц-бой 25.02.04
1. (Жюри по мотивам задач новосибирских олимпиад) Катер плыл по течению реки 2 часа, после чего сломался мотор, который команда катера ремонтировала 1 час (во время ремонта катер несло по течению реки). После этого катер вернулся обратно за 3 часа. Сколько времени потребовалось бы катеру на возвращение, если бы ремонт мотора продолжался 2 часа? (Ответ: 3 1/5 часа)
2. (Ю.М.Лифшиц) Восемь хоккейных команд провели чемпионат: каждые две команды сыграли ровно один матч. За победу давалось 2 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0 очков. Оказалось, что ровно семь команд поделили второе место. Сколько очков могла набрать команда-победительница? (Ответ: 14)
3
4. (И.И.Богданов) У папы Карло есть 130 дощечек. Из 5 дощечек он может сделать игрушечную мельницу, из 7 дощечек – пароход, из 14 дощечек –самолет. Самолет стоит 19 золотых, пароход – 8 золотых, мельница – 6 золотых. Какое наибольшее количество золотых может заработать папа Карло? (Ответ: 172)
5. Утверждение «Ровно для четырёх целых n число (2n+y)/(n–2) целое» верно лишь при некоторых у. Для скольких натуральных у 20 оно верно? (Ответ: 7)
6. Найдите трехзначное число, равное разности двух чисел, полученных из него перестановкой цифр в убывающем и возрастающем порядке. (Ответ: 495)
7. (Д.Ю. Кузнецов) На одной из боковых сторон треугольника взято 60 точек, а на другой – 50 (они все отличны от вершин треугольника). Каждую из вершин при основании соединили отрезками со всеми точками на противоположной стороне. Сколько треугольников получилось среди частей, на которые оказался разбит исходный треугольник? (Ответ: 111)
8. (Д.Ю. Кузнецов) Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь ломаная, состоящая из 7 звеньев? (Общие концы звеньев ломаной не считаются) (Ответ: 15)