Математический бой №3. 25.02.2004 высшая юниорская лига

1.(Болгария 2000) В треугольнике ABC угол A равен 15, а угол C равен 30. Точка M – середина стороны AC. Чему равен угол ABM?

2.(Lapok 1971:1 F.1749) Решите в натуральных числах уравнение

xyz + 2x + 3y + 6z = xy + 2xz + 3yz.

3.(По мотивам задачи Lapok 1988:5, Gy 2693) Дан набор из 99 нецелых чисел. Известно, что среди любых 50 из них найдется два числа с целой суммой. Докажите, что в наборе есть хотя бы два полуцелых числа.

4.(С.Л. Берлов) Имеется 99 одинаковых по виду и попарно различных по весу монет и прибор, умеющий из 9 монет определять среднюю по весу. Докажите, что с помощью 567 применений этого прибора можно определить монету, среднюю по весу из всех 99.

5.(Жюри) Число, кратное 1143, представлено в виде суммы различных степеней двойки. Докажите, что этих степеней не менее шести.

6.(С.Л. Берлов) В группе из 20 человек среди любых пятерых есть не более 3 пар знакомых. Докажите, что найдутся 10 человек из этой группы, незнакомых друг с другом.

7.(По мотивам задачи с болгарских соревнований 2000 г) В таблице 33 расставлены целые числа так, что каждое число равняется модулю разности суммы чисел, стоящих с ним в одной строке и суммы чисел, стоящих с ним в одном столбце. Верно ли, что все эти девять чисел равны нулю?

8.(С.Л. Берлов) На стороне BC прямоугольного треугольника ABC (C = 90) взята точка P так, что AC = CP. Точка M – середина AB, из нее опущен перпендикуляр MK на отрезок AP, на котором отложена точка L такая, что AL = MK. Докажите, что LM = CK.

Математический бой №3. 25.02.2004 первая юниорская лига

1.(фольклор) Отрезок длины 65 разбит на отрезки, длина каждого из которых – натуральное число, не большее 4. Докажите, что можно выбрать несколько из них так, чтобы сумма их длин равнялась 32 или 33.

2.(К.А. Кноп) Число, кратное 7, представлено в виде суммы нескольких (не обязательно различных) степеней двойки. Докажите, что в этой сумме не менее трех слагаемых.

3.(по мотивам Lapok 1988:5, Gy 2693) Среди любых 10 из данных 19 чисел есть пара таких, сумма которых – четное число. Докажите, что хотя бы одно из данных 19 чисел – целое.

4.(Жюри)

Деталь из конструктора «Юный электрик» выглядит как квадрат из 16 клеток. В центрах клеток — отверстия с электрическими контактами (как в розетке). Внутри детали каждый контакт соединен проводком ровно с одним контактом – из соседней (по стороне) клетки, всего 8 проводков. Прибор ТЕСТЕР позволяет определить, есть ли соединение между двумя контактами. Можно ли за шесть включений ТЕСТЕРА узнать, как соединены контакты внутри детали? ()

5.(С.Л. Берлов) Имеется 13 одинаковых по виду и попарно различных по весу монет и прибор, умеющий из 5 монет определять среднюю по весу. Докажите, что с помощью 15 применений этого прибора можно определить монету, среднюю по весу из всех 13.

6. (По мотивам задачи с болгарских соревнований 2001 г) На стороне BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C выбрана точка P. Из точки C опущены перпендикуляры CN на AP и CM на AB. На отрезке AP выбрана такая точка L, что AL = CN. Докажите, что LMN = 90.

7.(Фольклор) 2004-угольник разбит некоторыми своими диагоналями на треугольники (все вершины этих треугольников – вершины исходного 2004-угольника). Может ли при этом из каждой вершины выходить четное число диагоналей?

8.(Жюри) Ковер-самолет имеет форму прямоугольника со сторонами 20 м и 17 м. Докажите, что Баба-Яга сумеет разрезать его на семь квадратных ковриков.