Математический бой №2. 23.02.2004 первая юниорская лига
1.(Минские олимпиады) Учитель написал на доске пример на сложение десятичных дробей. При переписывании в свою тетрадь Винтик в одном разряде первой дроби одну цифру заменил на другую, а Шпунтик – поставил десятичную запятую во второй дроби на одну позицию правее. Дома каждый правильно выполнил свое задание, и оказалось, что ответы у них совпали. Какую цифру на какую заменил Винтик?
2.(Lapok, 1970) Решите уравнение:
(Ответ
не должен содержать знаков арифметических
действий.)
3.(Lapok 1988:4, Gy 2480) Какое наибольшее количество отрезков можно расположить на прямой так, чтобы среди любых трех из них были два отрезка, имеющие общую точку, а никакие десять отрезков общей точки не имели? (Отрезки включают концы.)
4.(Lapok 1988:4, Gy 2479) Каждое из 11 положительных чисел равно сумме квадратов остальных десяти. Найдите эти числа.
5.(С.В. Конягин, С.Л. Берлов) Можно ли, используя только три разных цифры, составить 56 четырехзначных чисел, дающих разные остатки при делении на 56?
6.(Юниорская Балканиада, 1998) В выпуклом пятиугольнике ABCDE AB = AE = CD = 1, ABC = DEA = 90 и BC + DE = 1. Найдите площадь пятиугольника.
7.(По мотивам Санкт-Петербургской олимпиады, 2004) У Винни-Пуха есть 9 горшков меда весом 1, 2, 3, …, 9 кг (на каждом горшке написан его вес), причем на дно одного из горшков ему подложили кусочек сыра весом 1 кг. Помогите Винни-Пуху при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь найти горшок с сыром.
8.(С.Л. Берлов) В остроугольном треугольнике ABC биссектриса угла B, высота из вершины A и серединный перпендикуляр к стороне AB пересекаются в одной точке. Чему может быть равен угол B?
Математический бой №2. 23.02.2004 вторая юниорская лига
1.(Минские олимпиады) Учитель написал на доске пример на сложение десятичных дробей. При переписывании в свою тетрадь Винтик в одном разряде первой дроби одну цифру заменил на другую, а Шпунтик – поставил десятичную запятую во второй дроби на одну позицию правее. Дома каждый правильно выполнил свое задание, и оказалось, что ответы у них совпали. Какую цифру на какую заменил Винтик?
2.(Lapok, 1970) Решите уравнение:
(Ответ не должен содержать знаков арифметических действий.)
3. (Санкт-Петербургская олимпиада 2004, 1 тур) Рома задумал натуральное число, нашел его делитель, умножил этот делитель на 4 и результат вычел из задуманного числа. Получилось 11. Какое число задумал Рома? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.
4.(Lapok 1988:4, Gy 2479) Каждое из 11 положительных чисел равно сумме квадратов остальных десяти. Найдите эти числа.
5.(половина задачи С.В. Конягина) Можно ли, используя только четыре разных цифры, составить 16 трехзначных чисел, дающих разные остатки при делении на 16?
6.(По мотивам Санкт-Петербургской олимпиады, 2004) У Винни-Пуха есть 9 горшков меда весом 1, 2, 3, …, 9 кг (на каждом горшке написан его вес), причем на дно одного из горшков ему подложили кусочек сыра весом 1 кг. Помогите Винни-Пуху при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь найти горшок с сыром.
7.(Минские олимпиады) Можно ли вписать в клетки квадрата 3 3 различные цифры так, чтобы трехзначные числа в каждой строке при чтении слева направо и в каждом столбце при чтении сверху вниз были простыми?
8. Все звенья ломаной ABCDE, не имеющей самопересечений, равны, а AD = BE. Докажите, что AC = CE.