Правила блиц-боя.

1. Блиц-бой проводится для определения мест команд в случае равенства баллов в групповом турнире у двух или более команд, если (в случае двух команд) личная встреча между командами закончилась вничью, а также для определения победителя при ничейном исходе боев за 1-2 и 3-4 места в высшей лиге и 1-2 места в первой и юниорской лигах.

2. Командам выдается 8 задач на 25 минут.

3. Ответы сдаются в письменном виде.

4. За каждый верный ответ начисляется 3 очка, за каждый неверный снимается 1 очко.

5. Места команд определяются по сумме баллов. При равенстве сумм баллов места определяются по результатам в командной олимпиаде. Если и эти результаты равны, места определяется жребием.

Математический бой №1. 22.02.2004 высшая лига

1.(Ирландия, 1997) Натуральное n называется избыточным, если сумма всех его натуральных делителей, кроме него самого, больше n. Докажите, что кратное избыточного числа тоже избыточно.

2.(Эстония, 1997 + С.Г. Волченков) Клетки квадратной доски 2004  2004 раскрашены в белый и голубой цвета. У каждой белой клетки, не лежащей на стороне квадрата, среди восьми её соседей ровно пять окрашено в голубой цвет, а у каждой голубой клетки, не лежащей на стороне квадрата, – ровно четыре белых соседних клетки. Сколько всего белых клеток на этой доске?

3.(Румыния 2003) Положительные числа a, b и c, не превосходящие 1, таковы, что ab + ac + bc = 1. Докажите, что a² + b² + c²   2.

4.(Mathematical Mayhem, M79 – Crux v.29, N1) Три игрока играют в следующую игру: в урне лежат n шариков, и игроки по очереди вынимают оттуда от 1 до 3 шариков. Тот, кто забирает последний шарик, проигрывает. При каких n первый и третий игроки могут, объединившись, добиться проигрыша второго игрока?

5.(Ирландия, 1997) Выбрали 1000 натуральных чисел, не превосходящих 2004. Докажите, что либо одно из выбранных чисел, либо сумма двух различных выбранных чисел – степень двойки.

6.(Шведская олимпиада, 1997) На биссектрисе BD треугольника ABC выбрана точка P такая, что 3PCA = 2PCB. Прямая PC пересекает сторону AB в точке E. Оказалось, что DE = DC = CP. Найдите углы треугольника ABC.

7.(С.Л. Берлов) Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) взята точка Е. Известно, что сумма углов ВAЕ и ВCЕ равна углу АВС. Докажите, что сумма АЕ + ЕС меньше, чем сумма высоты, опущенной на основание AC и половины самого АС.

8.(Юниорская Балканиада, 1998) Найдите все пары натуральных чисел x, y таких, что x^y = y^x–y.

Математический бой №1. 22.02.2004 первая лига

1.(Ирландия, 1997) Натуральное n называется избыточным, если сумма всех его натуральных делителей, кроме него самого, больше n. Докажите, что если n — избыточное число, то для произвольного натурального числа k число kn тоже избыточно.

2.(Эстония, 1997 + С.Г.Волченков) Клетки квадратной доски 2004  2004 раскрашены в белый и голубой цвета. У каждой белой клетки, не лежащей на стороне квадрата, среди восьми её соседей ровно пять окрашено в голубой цвет, а у каждой голубой клетки, не лежащей на стороне квадрата, – ровно четыре белых соседних клетки. Сколько всего белых клеток на этой доске?

3.(KoMaL 1970:2, Gy.1296) Докажите неравенство

(a + b)(a + b – 2c) + (b + c)(b + c – 2a) + (c + a)(c + a – 2b)  0.

4.(Mathematical Mayhem, M79 – Crux v.29, N1) Три игрока играют в следующую игру: в урне лежат n шариков, и игроки по очереди вынимают оттуда от 1 до 3 шариков. Тот, кто забирает последний шарик, проигрывает. При каких n первый и третий игроки могут, объединившись, добиться проигрыша второго игрока?

5.(Ирландия, 1997) Выбрали 1000 натуральных чисел, не превосходящих 2004. Докажите, что либо одно из выбранных чисел, либо сумма двух различных выбранных чисел – степень двойки.

6.(Харьков, 2003) В треугольнике ABC на стороне BC выбрана такая точка K, что отрезок AK пересекает медиану BM в точке N, причем AN = BC. Докажите, что BK = KN.

7.(С.Л. Берлов) Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) взята точка Е. Известно, что сумма углов ВAЕ и ВCЕ равна углу АВС. Докажите, что АЕ + ЕС > АВ.

8.(Австралийская олимпиада, 1984) Решите в натуральных числах уравнение 3n⁴ – m⁴ = 131.