9 Слайд.§4.3. Спектральное разложение матрицы. Z-преобразование

Спектральное разложение. Начнем с 1-го из указанных методов. В математике под спектром матрицы понимают совокупность всех ее собственных значений. Будем предполагать, что все они различны и для каждого из них найдены собственные векторы.

Итак, пусть для матрицы получено r собственных значений и r собственных векторов, так что имеем соотношение:

, (4.3.1)

где – матрица, состоящая из векторов-столбцов, которые являются собственными векторами матрицы P;

– диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы P.

Из (4.3.1) можно получить

. (4.3.2)

10 Слайд

Также может быть получено соотношение

,

или

, (4.3.3)

где векторы-строки, составляющие матрицу X, часто называют левыми собственными векторами в отличие от ранее описанных собственных векторов-столбцов, которые называют правыми собственными векторами. Итак, соотношение (4.3.1) с учетом введенных нами определений может быть записано как

. (4.3.4)

Соотношение (4.3.4) и представляет собой спектральное разложением матрицы, т.е. некоторую сумму матриц, умноженных на собственные значения.

11 Слайд

Глава 5. Процессы Маркова в непрерывном времени

§5.1. Необходимость моделей в непрерывном времени

и В данной модели рождаемость и смертность задаются в виде интенсивностей, т.е. вероятностей событий за время , разность между которыми и будет определять прирост (в случае положительности этой величины) или убывание (в противном случае) соответствующей популяции. Обозначив численность популяции в момент времени t через N(t) и интенсивность прироста (убытия) через , будем иметь, предполагая, что данной модели присуща, как и моделям с дискретным временем, 3-я особенность, дифференциальное уравнение

Из (5.1.1) интегрированием получаем

, (5.1.2)

или

. (5.1.3

12 Слайд

В общем случае, пусть имеется некоторая матрица переходных вероятностей P, состояния которой можно пронумеровать так, чтобы образовать в матрице в левой верхней части единичную подматрицу. Тогда матрицу P можно записать следующим образом:

, (4.4.1)

где

– единичная матрица;

– нулевая матрица;

– матрица перехода между транзитивными и поглощающими состояниями;

– матрица вероятностей перехода между транзитивными состояниями.

Как было показано в примере 4.4.1, где матрица P имела подобную структуру, в пределе при матрица

, (4.4.2)

где матрица B представляет собой матрицу вероятностей перехода к поглощающим состояниям. В компьютерную эпоху ее можно вычислить путем возведения матрицы P в достаточно большую степень, что представляло сложность во времена Маркова. Однако теория даст нам возможность не только получить матрицу В без возведения матриц в степень, но и ответить на множество других вопросов.

13 Слайд.§5.2. Основные соотношения.

Связь между моделями в непрерывном и дискретном времени

Обозначим через t величину интервалов между переходами в дискретной цепи Маркова с матрицей переходных вероятностей P с элементами . Если теперь t 0, но средняя величина интервала между изменениями состояния остается постоянной, то процесс, к которому приходим в этом случае, и представляет собой непрерывную марковскую цепь. Величины

(5.2.1)

будем называть интенсивностями перехода из состояния i в состояние j. Из (5.2.1) и того, что условием марковости матрицы P является равенство 1 суммы элементов каждой из ее строк, получаем, что

. (5.2.2)

Чтобы иметь удобное матричное соотношение между матрицей переходных вероятностей и матрицей интенсивностей переходов, определяют величины диагональных элементов матрицы R:

. (5.2.3)

Если теперь обозначить через P(t) матрицу переходных вероятностей, то на основании последних трех соотношений можно записать

, (5.2.4)

где R – матрица интенсивностей, элементы которой определяются по (5.2.1) и (5.2.3).

14 слайд.Как и при рассмотрении дискретных марковских процессов, необходимо получить соотношение, аналогичное (4.1.4), но t будет уже не дискретным, а будет иметь возможность принимать любое действительное значение

, (5.2.5)

где  – вектор вероятностей находиться в различных состояниях в момент t.

Из (5.2.5) имеем

, (5.2.6)

что при t0 приводится к дифференциальному уравнению

, (5.2.7)

которое для скалярного случая было рассмотрено в §5.1. Этот результат может быть легко распространен и на случай, когда в показателе степени e будет не скаляр, а матрица, что приводит к известному разложению экспоненты в матричный ряд:

(5.2.8)

Нахождение матрицы

(5.2.9)

требует вычисления бесконечного количества членов ряда, однако реальное значение имеет лишь некоторое количество первых их членов. В приводимой ниже программе 5.2.1 их взято со значительным избытком – 170 элементов, что позволяет обеспечить точность расчета матрицы P(t) для любых возможных приложений, но не слишком больших t.