Тема 3. Система эконометрических уравнений

Задание 4. Оценка структурной модели на идентификацию.

• необходимо оценить структурную модель на идентификацию и определить метод решения системы уравнений:

у₁ = b₁₃у₃ + а₁₁х₁ + а₁₃х₃;

у₂ = b₂₁у₁ + b₂₃у₃ + а₂₂х₂;

у₃ = b₃₂у₂ + а₃₁х₁ + а₃₃х₃.

Методика выполнения:

1. Проверить каждое уравнение на необходимые условия идентификации, используя счетное правило: Н = D + 1, где Н – число эндогенных переменных в рассматриваемом уравнении;

D – число предопределенных (отсутствующих экзогенных) переменных в данном уравнении, но присутствующих в системе.

Идентификация – отождествление теоретической модели данным реального экономического процесса. Модель идентифицирована, если все структурные коэффициенты определяются однозначно по коэффициентам приведенной формы модели. Структурные модели могут быть: идентифицируемые, неидентифицируемые и сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. По счетному правилу Д + 1 = Н – уравнение идентифицируемо.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, в результате чего структурные переменные не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. В этом случае счетное правило будет равно : Д + 1 < Н – уравнение неидентифицируемо.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. Тогда на основе приведенных коэффициентов приведенной формы модели можно получить несколько значений одного структурного коэффициента. В этом случае счетное правило будет: Д + 1 > Н – уравнение сверхидентифицируемо. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.

2. Проверяется достаточное условие идентификации для чего определяются отсутствующие переменные в уравнениях и строится матрица из коэффициентов при них в других уравнениях системы

Уравнения	Отсутствующие переменные

Целесообразность проверки на достаточное условие идентификации модели через определитель (DetA) матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что для каждого уравнения системы может быть выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен 0.

В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

3. По необходимому и достаточному условию оценивается каждое уравнение и система в целом на идентификацию и определяется метод решения системы уравнений.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, а для решения сверхидентифицированных - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае идентифицируемой структурной модели и включает следующие этапы:

- структурная модель преобразовывается в приведенную форму:

у₁= δ₁₁ · х₁ + δ₁₂ · х₂ + …+ δ_1m · х_m

у₂ = δ₂₁ · х₁ + δ₂₂ · х₂ +…+ δ_2m · х_m

у_n= δ _n1 · х₁ + δ_n2 · х₂ + …+ δ_nm · х_m ,

в которой коэффициенты при «х» определяют обычным МНК;

- путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая при этом числовые значения структурных параметров.

Двухшаговый МНК, где также составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого уравнения обычным МНК:

- первый шаг – выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям формы модели;

- шаг второй – применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению, используя найденные теоретические (расчетные) значения эндогенных переменных определяются структурные коэффициенты модели. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Задание 5. Построение модели из двух взаимосвязанных уравнений

По данным приложения 10 по производству молока на молочных фермах района построить модель из двух взаимосвязанных уравнений и определить структурные коэффициенты модели.

Методика выполнения:

1. Выписать исходные данные по 10-и хозяйствам в табл. 7 и обозначить эндогенные и экзогенные переменные

Таблица 7 – Исходные данные для построения модели

№ п/п	Годовой надой на корову, ц	Расход кормов на корову, ц	Приплод на 100 коров, гол.	Уд. вес породных коров, %
1 2 . . 10

2.Построить модель вида: у₁ = f (у_2,х₁), у₂ = f (у₁,х₂),

записать систему одновременных уравнений в структурной форме:

у₁ = b₁₂ · у₂ + а₁₁ · х₁ + ε₁

у₂ = b₂₁ · у₁ + а₂₂ · х₂ + ε₂

3.Используя счетное правило проверить систему одновременных уравнений на идентификацию Н = D + 1 и определить метод решения такой системы, где Н – эндогенные переменные в уравнении, D – отсутствующие в уравнении экзогенные переменные.

4. В случае точной идентификации структурной модели рекомендуется для определения параметров модели использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), который предполагает преобразование структурной модели в приведенную форму:

у ₁= δ₁₁ · х₁ + δ₁₂ · х₂

у₂ = δ₂₁ · х₁ + δ₂₂ · х₂,,

в которой коэффициенты при «х» определяются методом наименьших квадратов.

5. Для расчета приведенных коэффициентов δ₁₁ и δ₁₂ для первого уравнения приведенной формы модели составляется система нормальных уравнений, где для упрощения процедуры расчетов значения переменных «х» и «у» выражают отклонениями от средних уровней, т.е. у = у_i – и х = х_i – .

Для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:

Σ у₁х₁ = δ₁₁ · х₁ + δ₁₂ · Σ х₁ · х₂ ,

Σ у₁х₂ = δ₁₁ · Σ х₁ · х₂ + δ₁₂ · Σ х²₂

Определив суммы: Σ у₁х₁, Σ у₁х₂, Σ х₁², Σ х₁х₂, Σ х₂² и решив систему нормальных уравнений, находим числовые значения приведенных коэффициентов δ₁₁ и δ₁₂ и записываем первое уравнение.

6. Аналогично составляется система нормальных уравнений, определяются приведенные коэффициенты δ₂₁ и δ₂₂ для второго уравнения и производится запись уравнений приведенной формы модели.

7 . Из приведенной формы модели переходят к структурной форме модели, т.е. к системе уравнений: у₁ = b₁₂ у₂ + а₁₁ х₁ + ε_1,

у₂ = b₂₁ у₁ + а₂₂ х₂ + ε_2.

Коэффициенты структурной формы модели определяются из приведенной формы модели подстановкой значения экзогенных переменных одного уравнения в другое:

у₁ = δ₁₁ х₁ + δ₁₂ х₂ у₂ = δ₂₁ х₁ + δ₂₂ х₂

у₂ – δ₂₁ х₁ у₁ - δ₁₂ х₂

х₂ = ————— х₁ = —————

δ₂₂ δ₁₁

8. Записать структурную форму модели с найденными числовыми значениями коэффициентов и раскрыть экономическое содержание модели.

Для включения в систему уравнений свободных членов, т.е. перехода от переменных в виде отклонений от среднего уровня к исходным переменным у и х, они определяются по формулам: А₀₁ = – b₁₂ – а₁₁ ,

А₀₂ = – b₂₁ – а₂₂ .