
- •Билет 1.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 2.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 3.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 4.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 5.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 7.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 8.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Б илет 9.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 10.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 11.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 12.
- •Вопрос 1
- •Вопрос 2.
- •Вопрос 2.
- •Билет 15.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 16.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Б илет 19. Вопрос 1. Связь момента импульса твёрдоготела с угловой скоростью еговращения. Тензор инерции. Главные и центральные оси инерции. Оси свободного вращения.
- •Вопрос 2. Колебания системы с двумя степенями свободы. Нормальные колебания(моды). Нормальные частоты. Примеры.
- •Вопрос 1. Закон сохранения момента импульса системы тел и его связь с изотропностью пространства. Примеры.
- •Вопрос 2. Уравнение бегущей монохроматической волны. Частота, период колебаний, фазоваяскорость, лдолина волны, волновое число. Волновой вектор. Уравнение бегущих цилиндрической и сферичческой волн.
- •Билет 21.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 22.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Билет 26.
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
Вопрос 2.
Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Процесс установления колебаний. Амплитудно-частотные и фазо-частотные кривые. Резонанс.
Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Если на систему постоянно действует постоянно меняющаяся внешняя, зависящая от времени сила, то такие колебания наз. вынужденными.
mx``=-Dx-x`+F0cost
x``+2x`+02x=(F0/m)cost
Процесс установления колебаний
Каковы бы ни были условия в момент начала действия внешней силы, осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным режимом. Он происходит потому, что с течением времени затухнут собственные колебания. Время установления колебаний определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия силы - = 1/. Даже если начальных колебаний не было, то все равно время установления будет тем же.
a) малые частоты: 0, 0А=(F0/m)sint, A(t)=( F0/m 02)sint =( F0/k) sint
б) большие частоты: 0, Ä(F0/m)sint, А=(F0/m2)sin(t-)
в) резонанс: 0: Рассмотрим подробнее именно этот режим. С этой целью перепишем уравнение в комплексном виде:
(12.29)
а его частное решение будем искать в виде
(t)=A
.
(12.30)
Реальная
часть этого решения будет решением
уравнения (12.27)(вместо
в 12.29. cos
wt)
Подставляя (12.30) в (12.29), получаем
Из условия стационарности решения (независимости его от времени) следует, что =, откуда
A
есть комплексное число, которое удобно
представить в экспоненциальном виде
A=x+iY=Ao
.
Тогда модуль А
будет Aо=
,
а его фаза tg=Y/X.
.Получаем
,
tg
= (2)/(02-2).
АЧХ и ФЧХ. Резонанс.
АЧХ-кривая,описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы.
ФЧХ-то же для разности фаз вынужденных колебаний и внешней силы. резонанс: 0
А=А0sin(0t+)
Ä+02A=0
2Á=(F0/m)sin0t
A=(F0/2m0)sin(t-/2)
A0=F0/2m0=( F0/m02)*(0/2)=(F0/k)*Q
tg
= (2)/(02-2)
(0-)/ 1
(02-2)2 = (0-)2*(0+)2 ; 0+ ≈ 2ω ; 4γ2ω2 ≈ 4γ2ω02
– Формула
Лоренца
∆ω = 2δ=ω0/Q - ширина резонансной кривой.
— дектремент затухания.
(ω02-2)1/2.
Билет 17.
Вопрос 1.
Движение тела с одной закреплённой точкой. Регулярная прецессия свободного симметричного волчка.
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. В этом случае тело имеет три степени свободы – начала систем XYZ и x 0 y 0 z 0 , введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера: =(t), =(t), =(t).
Д
ля
твердого тела с одной неподвижной точкой
справедлива теорема Эйлера: твердое
тело, закрепленное в одной точке, может
быть переведено из одного положения в
любое другое одним поворотом на некотjрый
угол вокруг неподвижной оси, проходящей
через точку закрепления. Cледствие
из этой теоремы: движение закрепленного
в точке твердого тела в каждый момент
времени можно рассматривать как вращение
вокруг мгновенной оси, проходящей через
точку закрепления. Положение этой оси
как в пространстве, так и относительно
самого тела с течением времени общем
случае меняется. Г М положений мгновенной
оси вращения относительно неподвижной
системы XYZ (или x 0 y 0 z 0 ) – это сложная
коническая поверхность с вершиной в
точке закрепления. В теоретической
механике ее называют неподвижным
аксоидом.
Г М положений мгновенной оси вращения
относительно подвижной системы xyz,
жестко связанной с твердым телом, – это
тоже коническая поверхность – подвижный
аксоид. Линейная скорость произвольной
точки твердого тела вокруг мгновенной
оси: v=r,
где r – радиус-вектор точки относительно
начала системы XYZ (или x 0 y 0 z 0 ), совмещенного
с точкой закрепления.
Э
ти
уравнения наз. уравнениями Эйлера. В
ряде случаев движение с одной закр.
точкой можно представить как суперпозицию
2-х вращений вокруг пересекающихся осей,
угловые скорости складываются векторно.
Р
егулярная
прецессия свободного симметричного
волчка. Рассмотрим
тяжелый симметричный гироскоп, у которого
неподвижная точка S (точка опоры о
подставку) не совпадает с центром масс
О (рис. 4.6). Момент силы тяжести относительно
точки S: M=mglsin.
Изменение момента импульса L определяется
выражением: dL=Mdt.
При этом и L, и ось волчка прецессируют
вокруг вертикального направления с
угловой скоростью .
Еще раз подчеркнем: делается допущение,
что выполнено условие >>
и что L постоянно направлен вдоль оси
симметрии гироскопа.
dL=L sindt, dL=L dt M= dL=L.
Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси. Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное «выключение» M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.
mglsin=Jz sin =mgl/Jz
Билет 18.