Геометрия
Часть I
ВЕКТОРЫ. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарность и компланарность. Координаты вектора в аффинной системе координат. Скалярное и векторное произведения. Свойства, геометрический смысл этих произведений и их выражение в координатах.
Вектором называется
направленный отрезок АВ с начальной
точкой А и конечной точкой В, который
обозначается символом
или одной строчной буквой
(рис.
3.1).
Д
линой
(или модулем) вектора
называется число, равное длине отрезка,
изображающего вектор. Записи
и
обозначают модули векторов
и
соответственно. Вектор
,
длина которого равна единице, называется
единичным вектором, или ортом: орт
обозначается
.
Вектор, у которого
начало и конец совпадают, называется
нулевым и обозначается символом
.
Длина такого вектора равна нулю и ему
можно приписать любое направление.
Векторы
и
,
расположенные на одной прямой или на
параллельных прямых, называются
коллинеарными (
).
Два вектора
называются равными (
),
если они: 1) имеют равные модули; 2)
коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным.
Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.
Рассмотрим линейные операциями над векторами.
Произведением
вектора
на действительное число
называется вектор
,
длина которого
,
а направление совпадает с
,
если
, и противоположно
,
если
.
Из определения следует, что векторы
и
всегда расположены на одной или на
параллельных прямых. Следовательно,
равенство
(2.1)
выражает условие коллинеарности двух векторов.
Противоположным
вектором
называется произведение вектора
на число
,
т.е.
.
Если
,
то орт вектора
находится по формуле
.
(2.2)
Суммой двух векторов
и
называется вектор
,
который идет из начала вектора
в конец вектора
при условии, что вектор
приложен к концу вектора
(рис. 3.2, а) (правило треугольника).
Очевидно, что вектор
в этом случае представляет диагональ
параллелограмма, построенного на
векторах
и
(рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).
Аналогично
определяется сумма нескольких векторов:
если векторы
,
,…,
образуют ломаную
,
то суммой этих векторов является вектор
,
замыкающий эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило
многоугольника).
В частности, если
ломаная замыкается, т.е.
,
то сумма ее звеньев равна нулевому
вектору
.
Р
азностью
двух векторов
и
называется вектор
,
являющийся суммой векторов
и
.
Отметим, что вектор
направлен к концу вектора
,
если
и
приведены к общему началу ( рис. 2.2,
б).
Введенные операции
умножения вектора на число и сложения
векторов называются линейными и
удовлетворяют (
и
)
следующим свойствам:
1о.
;
2о.
;
3о.
;
4о.
;
5о.
;
6о. 1
=
;
7о.
;
8о.
(
)
=
+
.