1.2. Методика изучения сложения и вычитания

Тема: Сложение и вычитание чисел в пределах 10

План:

1. Методика изучения конкретного смысла действий сложения и вычитания.

2. Характеристика знаний по нумерации, используемых учащимися при изучении данной темы.

3. Методика формирования вычислительного навыка.

4. Методика изучения табличных случаев.

5. Методика изучения приемов сложения и вычитания в пределах 10:

а)  ±1;

б) ± 2, 3, 4;

в) + 5, 6, 7, 8, 9;

г) - 5, 6, 7, 8, 9.

6. Работа с наглядными пособиями к изучению состава чисел.

7. Дидактические игры на закрепление теоретических навыков.

Рекомендательная литература

1. Моро М.И. Усилить внимание к формированию вычислительных навыков // Начальная школа. – 1984. – № 7. – С. 34.

2. Истомина Н.Б., Шмырева Г.Г. Формирование навыков сложения и вычитания в пределах 10 // Начальная школа. – 1987. – № 10. – С. 36-37.

3. Романова В.А. Работа над составом чисел // Начальная школа. – 1991. – № 9. – С. 36-37.

4. Никитина Л.В. Как я учу шестилеток // Начальная школа. – 1987. – № 9. – С. 48-50.

5. Попов В.К. Игра помогает учиться // Начальная школа. – 1987. – № 2. – С. 39-40.

6. Моисеев О.И. Формирование приемов самоконтроля у первоклассников-шестилеток // Начальная школа.– 1987.– № 10. – С. 33-34.

Основные цели изучения сложения и вычитания в 1 классе

К концу 1 класса ребенок должен понимать конкретный смысл действий сложения и вычитания, до автоматизма знать таблицу сложения чисел в пределах десяти и соответствующие случаи вычитания. Однако достижение этих конечных результатов опирается на последовательное освоение конкретных вычислительных приемов, которые расположены в порядке возрастания степени трудности. В логике развертывания данной темы можно выделить следующие этапы: 1) прибавление к числу единицы и вычитание из числа единицы; 2) прибавление и вычитание чисел 2, 3, 4 (с использованием приема «по частям»); 3) изучение переместительного свойства сложения; 4) сложение чисел вида  + 5,  + 6,  + 7,  + 8,  + 9; 5) вычитание чисел вида  - 5,  - 6,  – 7,  - 8,  - 9; 6) составление таблиц сложения и вычитания в пределах десяти и их запоминание. В ходе данной темы дети учатся писать цифры. Необходимой предпосылкой для этого является хорошее развития у ребенка мелких мышц пальчиков, координации движений. Их развитию способствуют такие упражнения, как лепка, шитье, раскрашивание, штриховка и др. Опишем методику работы над этими вопросами более подробно.

Прибавление к числу единицы и вычитание из числа единицы

В основе данного приема лежит хорошее владение ребенком счетом в пределах десяти в прямом и обратном порядке и знание соотношений между соседними числами. Этот материал был уже изучен в теме «Числа от 1 до 10». Поэтому прибавление к числу единицы и вычитание из числа единицы вводится с помощью следующих правил: а) чтобы прибавить к числу 1 нужно назвать следующее за ним число; б) чтобы вычесть из числа 1 нужно назвать предыдущее число. Эти случаи нужно обобщить (это удобно сделать в виде следующих таблиц) и запомнить:

1 + 1 = 2 6 + 1 = 7 2 + 1 = 3 7 + 1 = 8 3 + 1 = 4 8 + 1 = 9 4 + 1 = 5 9 + 1 = 10 5 + 1 = 6

2 – 1 = 1 7 – 1 = 6 3 – 1 = 2 8 – 1 = 7 4 – 1 = 3 9 – 1 = 8 5 – 1 = 4 10 – 1 = 9 6 – 1 = 5

Сложение и вычитание в случаях вида   2,   3,   4

В основе решения всех примеров данного вида лежит прием, который называется «прибавление и вычитание по частям». Суть этого приема состоит в том, что второй компонент действия (числа 2, 3 или 4) дробится на более мелкие части и действия производятся последовательно с каждой частью. Покажем это на следующих примерах:

5 + 2 =		7 – 2 =		6 + 3 =		8 – 3 =		5 + 4 =		9 – 4 =
5+1+1		7-1-1		6+2+1		8–2-1		5+2+2		9–2–2

Приступая к изучению данного приема, необходимо повторить состав чисел 2, 3 и 4 из различных слагаемых. На начальном этапе освоения приема каждый пример желательно иллюстрировать наглядным материалом и сопровождать его выполнение предметными действиями (например, со счетными палочками). Приведем образец числовой записи, облегчающей восприятие приема сложения и вычитания «по частям»:

Сложение чисел вида  + 5,  + 6,  + 7,  + 8,  + 9

Этот случай в себя включает выражения, в которых второе слагаемое больше или равно пяти, например: 3 + 6; 2 + 7; 1 + 8. в этом случае первое слагаемое будет меньше пяти, т.к. действия осуществляются в пределах десяти. Это позволяет поменять слагаемые местами и использовать уже известный ребенку прием прибавления и вычитания «по частям»:

3 +6 = ?

6 + 3 = 9

Таким образом, в основе сложения чисел вида  + 5,  + 6,  + 7,  + 8,  + 9 лежит переместительное свойство сложения, с которым необходимо предварительно познакомиться.

Вычитание чисел вида  - 5,  - 6,  - 7,  - 8,  - 9

Этот случай в себя включает выражения, в которых вычитаемое больше или равно пяти, например: 9 – 5; 8 – 6 и т.д. нахождение результатов в таких выражениях опирается на хорошее знание состава чисел первого десятка. Например, при вычислении значения выражения 9 – 6 = ребенок рассуждает следующим образом: «Девять – это шесть и три. Если из девяти вычтем шесть, то останется три». Эти рассуждения сопровождаются записью:

9 - 6 =

9 = 6 + 3

На первых этапах желательно, чтобы ребенок вслух комментировал решение таких примеров. Постепенно можно перейти к комментированию «про себя». При этом необходимость в записи «примера-помощника» (9 = 6 + 3) отпадает.

Проверочные задания по теме «Сложение и вычитание»

1. Найди значения выражений:

а) 6 + 4 = 3 – 2 = 3 + 6 =

9 – 7 = 2 + 8 = 10 – 8 =

3 + 5 = 8 – 5 = 6 + 1 =

6 – 3 = 3 + 7 = 3 – 3 =

10 – 4 = 9 + 1 = 6 – 2 =

2 + 8 = 9 – 3 = 5 + 4 =

1 – 0 = 4 + 5 = 6 – 0 =

1 + 0 = 8 – 5 = 4 + 4 =

2 + 3 = 9 – 6 = 7 + 2 =

10 – 9 = 4 + 0 = 9 – 0 =

8 + 0 = 7 – 6 = 4 + 4 =

9 – 4 = 9 + 1 = 7 – 6 =

б) 10 + 5 = 10 + 7 = 10+ 9 =

10 + 10 =

16 – 6 = 19 – 9 = 12 – 2 =

18 – 8 = 15 – 10 = 13 – 10 =

17 – 10 = 20 – 10 =

2. Вставь в окошко нужное число:

6 + 4 +ð = 13; 12 – 2 - ð = 6;

3 + ð + 7 = 17; 17 - ð - 8 = 2.

Тема: Сложение и вычитание чисел в пределах 20

План:

1. Задачи работы над темой.

2. Содержание подготовительного этапа.

3. Ознакомление с приемами сложения и вычитания с переходом через десяток.

4. Работа по осмыслению приемов сложения и вычитания и заучиванию таблиц наизусть. Методика формирования вычислительного навыка.

5. Дидактические игры к работе над темой.

6. Работа с индивидуальным наборным полотном с двумя рядами карманов по 10 штук.

Рекомендательная литература

1. Моро М.И. Усилить внимание к формированию вычислительных навыков // Начальная школа. – 1984. – № 7. – С. 34-36.

2. Уткина Н.Г. Изучение трудных тем по математике. – М.: Просвещение, 1982. – С. 10–18.

3. Петерсон Л.Г. Активация деятельности детей при изучении вычитания двузначных чисел с переходом через десяток // Начальная школа – 1997. – № 6.

Сложение и вычитание с переходом через десяток в пределах 20

Сложение чисел с переходом через десяток рассмотрим на примере случая 9 + 4. Для этого используется следующий прием: второе слагаемое (число 4) разбивается на две части (числа 1 и 3) так, чтобы первая часть (число 1) дополняло первое слагаемое (число 9) до целого десятка. Затем к целому десятку добавляется вторая часть (число 3) и получается ответ – число 13.

Чтобы наглядно представить этот процесс, используется двухрядное наборное полотно, каждый ряд которого состоит из 10 частей. Сначала на первый ряд выставляется 9 красных квадратов, а на второй ряд – 4 синих квадрата. Затем один синий квадрат переставляется в верхний ряд (т.к. там осталось место только для одного квадрата), а три квадрата остаются в нижнем ряду.

Числовая запись этого приема выглядит следующим образом:

Программой предусмотрено, что случаи сложения с переходом через десяток изучаются не все сразу, а постепенно, чтобы у ребенка была возможность не только понять сам прием, но и запомнить результаты каждого примера. В учебнике изучение сложения с переходом через десяток сгруппировано в несколько уроков так, что на каждом уроке рассматриваются преимущественно случаи сложения с одинаковым вторым слагаемым.

После изучения всех случаев сложения, они обобщаются и систематизируются в виде таблицы, которую нужно знать наизусть:

9 + 2	8 + 3	7 + 4	6 + 5	11
9 + 3	8 + 4	7 + 5	6 + 6	12
9 + 4	8 + 5	7 + 6		13
9 + 5	8 + 6	7 + 7		14
9 + 6	8 + 7			15
9 + 7	8 + 8			16
9 + 8				17
9 + 9				18

После сложения изучается вычитание с переходом через десяток. При этом, в отличие от сложения, рассматривается два приема вычитания:

1) Прием замены вычитаемого суммой двух частей, одна из которых равна количеству единиц уменьшаемого. Этот прием похож на рассмотренный выше прием сложения с переходом через десяток:

2) Прием. Основанный на соответствующих случаях сложения. Например, выполняя вычитание чисел вида 12 – 5, ребенок рассуждает следующим образом: «Двенадцать – это пять и семь. Поэтому, если из двенадцати вычтем пять, то останется семь». Запись в этом случае выглядит так:

12 – 5 = ?

12 = 5 + 7

Все случаи вычитания с переходом через десяток также должны быть постепенно выучены наизусть. Таким образом, в результате изучения этой темы ребенок должен наизусть знать таблицу сложения всех однозначных чисел (до 18 включительно) и на этой основе выполнять соответствующие случаи вычитания.

Тема: Методика изучения сложения и вычитания чисел от 21 до 100

План:

1. Задачи изучения темы.

2. Последовательность изучения устных приемов сложения и вычитания.

3. Методика использования свойств действий сложения и вычитания с теоретико-множественной точки зрения.

4. Методика формирования вычислительного навыка.

5. Различные подходы к изучению сложения и вычитания чисел 21-100.

Рекомендательная литература

1. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. – 1993.– № 11. – С. 38-44.

2. Бельтюкова Г.В. Методические ошибки при формировании у школьников вычислительных навыков // Начальная школа. – № 8. – 20-27.

3. Белошистая А.В. Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. – 1980. – № 8. – С. 20-27.

4. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 1997. – № 2. – С. 36-39.

5. Моро М.И. Усилить внимание к формированию вычислительных навыков / Начальная школа.– 1985.– № 7.– С. 34-36.

6. Никулина А.М. Формирование у первоклассников навыков проверки арифметических действий // Начальная школа. – 1983. – № 9. – С. 45-47.

7. Пиядин Н.С. Формирование вычислительных умений и навыков // Начальная школа.– 1990. – № 10. – С. 82-84.

8. Шилова Е.С. Занимательные задания для формирования вычислительных навыков // Начальная школа. – 1979. – № 9. – С. 45-46.

9. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальных классах.– М.: Педагогика, 1988. – 208 с.

К концу учебного года ребенок должен уверенно складывать и вычитать числа в пределах ста (виды этих чисел перечислены ниже), знать правила, на которых основываются вычислительные приемы, и осознанно применять их в вычислениях. Арифметические действия осваиваются не над всеми сразу двузначными числами, а постепенно, начиная с самых простых случаев:

1) 30 + 20, 60 – 20, 80 + 20, 100 – 30;

2) правило замены соседних слагаемых их суммой;

3) 25 + 3, 3 + 25;

4) 50 + 23, 23 + 50;

5) 36 – 20, 36 – 2;

6) 26 + 4; 30 – 4;

7) 60 – 24;

8) 26 + 7;

9) 35 – 7;

10) Сложение и вычитание двузначных чисел в «столбик»:

а) 45 + 23; б) 57 – 26;

в) 37 + 48, 37 + 53, 87 + 13;

г) 50 – 24, 52 – 24.

Рассмотрим более подробно методику работы над перечисленными вычислительными приемами.

Сложение и вычитание разрядных чисел вида 30 + 20, 60 – 20 опирается на умение складывать и вычитать однозначные числа в пределах десяти. Рассуждения в данном случае выглядят следующим образом: «30 – это 3 десятка, а 20 – это 2 десятка. Если к 3 десяткам прибавим 2 десятка, то получим 5 десятков. 5 десятков – это 50 единиц, значит, 30 + 20 = 50».

На начальном этапе рассуждения можно сопровождать записью:

30 + 20 =

3д. + 2д. = 5д.

В дальнейшем запись можно сократить: 30 + 20 =50.

Если ребенок затрудняется с вычислением результата, то следует обратиться к предметным действиям с пучками счетных палочек по десять в каждом:

Аналогично проводятся рассуждения при вычитании разрядных чисел вида 60 – 20. Специально следует остановиться на случаях сложения и вычитания, в которых присутствует число 100: 80 + 20, 100 – 30. все остальные устные вычислительные приемы изучаются по одной и той же схеме. Поэтому мы ограничимся подробным рассмотрением методики изучения только одного приема: 23 + 50.

1) Подготовительный этап.

На подготовительном этапе отрабатываются следующие опорные знания: а) замена двузначного числа суммой разрядных слагаемых (23 = 20 + 3); б) сложение разрядных чисел (20 + 50 = 70); в) сложение разрядного числа с однозначным (70 + 3 = 73). Все эти операции являются составными частями вычислительного приема 23 + 50 поэтому, приступая к его изучению, необходимо добиться хорошего выполнения всех перечисленных операций.

2) Этап знакомства со свойством сложения, которое является теоретическим обоснованием данного вычислительного приема.

Для того, чтобы вычислительные приемы осваивались учащимися осознанно, программой предусмотрено знакомство со свойствами арифметических действий, выполняющих роль теоретических обоснований. В программе 1-3 роль теоретического обоснования выполняет правило прибавления числа к сумме. В программе 1-4 это правило используется в другой форме – в форме правила замены соседних слагаемых их суммой.

3) Этап знакомства с самим вычислительным приемом.

а) Выполнение предметных действий с использованием счетных палочек или полосок с кружочками:

б) Моделирование выполняемых предметных действий с помощью схемы. На схеме десяток можно обозначить треугольником с десятью точками-единицами. В дальнейшем точки можно не изображать, считая треугольник моделью десятка. В этом случае модель вычислительного приема 23 + 50 будет выглядеть следующим образом:

в) числовая запись вычислительного приема:

23 + 50 = (20 + 3) + 50 = (20 + 50) + 3 = 70 + 3 = 73.

Так как некоторым детям бывает сложно в уме удержать последовательность выполняемых операций при решении данного примера, то в этом случае задать алгоритм можно в виде тройки опорных слов:

заменю …, получу …, удобнее …

ориентируясь на эти опорные слова, ребенок следующим образом комментирует выполнение данного примера: «Заменю число 23 суммой разрядных слагаемых 20 и 3; получу пример (20 + 3) + 50; удобнее к десяткам (20) прибавить десятки (50), получим семьдесят, семьдесят плюс три – получится семьдесят три».

4) В дальнейшем, на этапе формирования вычислительных навыков сложения и вычитания, отдельные операции постепенно начинают выполняться ребенком в умственном плане без подробной фиксации этих операций в виде моделей или числовых записей. Для формирования прочих вычислительных навыков в этот период нужно увеличить количество тренировочных упражнений, которые могут быть представлены в занимательной форме. Все остальные вычислительные приемы изучаются по этой же схеме, поэтому в данном методическом пособии они не рассматриваются.

Устные приемы сложения и вычитания в пределах 1000

Рассмотрим основные случаи устного сложения и вычитания в пределах 1000.

1) Сложение и вычитание чисел вида 500 + 400 и 700 – 200 основывается на сложении и вычитании однозначных чисел:

500 + 400 =		700 – 200 =
5 с. + 4 с. = 9 с.		7 с. – 2 с. = 5 с.

2) Сложение и вычитание чисел вида 340 + 200 и 870 – 600 сводится к сложению и вычитанию двузначных чисел:

340 + 200 =		870 – 600 =
34 д. + 20 д. = 54 д.		87 д. – 60 д. = 27 д.

Устные приемы умножения и деления в пределах 1000

В 3 классе изучаются простейшие случаи умножения и деления в пределах 1000.

1) Умножение и деление разрядных чисел сводится к умножению и делению однозначных чисел:

400 · 2 =		600 : 3 =
4 с. · 2 = 8 с.		6 с. : 3 = 2 с.

2) Случаи 60 · 7 и 540 : 6 опираются на табличное умножение и деление:

60 · 7 =		540 : 6 =
6 д. · 7 = 42 д.		54 д. : 6 = 9 д.

Тема: Письменные приемы сложения и вычитания

План:

1. Последовательность изучения темы по концентрам.

2. Переход от устных к письменным приемам сложения и вычитания двузначных чисел, формирование алгоритма письменного сложения и вычитания.

3. Особенности изучения вопроса в одном из альтернативных подходов (2, 123), (21, 168-202).

4. Предупреждение ошибок у учащихся при сложении и вычитании многозначных чисел.

Кроме устных приемов вычислений, во 2 классе ребенок должен осознанно и быстро складывать и вычитать любые двузначные числа «в столбик». Освоение этого осуществляется в следующей последовательности: 1) сложение двузначных чисел без перехода в другой разряд (57 – 26); 3) сложение двузначных чисел с переходом в другой разряд (37 + 48); 4) вычитание двузначных чисел с переходом в другой разряд (52 – 24).

Прием сложения в столбик опирается на правило прибавления суммы к сумме, которое в явном виде в начальных классах не изучается. Поэтому освоение данного приема можно начать в его иллюстрации на абаке с помощью счетных палочек (в верхнем ряду – число 45, в нижнем – число 23).

Перекладывая три отдельных счетных палочки из нижнего правого кармашка в верхний, а два пучка палочек – из нижнего левого кармашка в верхний, мы тем самым иллюстрируем способ прибавления десятков к десяткам, а единиц – к единицам. Эти предметные действия сопровождаются записью:

5 + 3 = 8; 40 + 20 = 60; 60 + 8 = 68.

Цель этой работы – помочь ребенку осознать данный вычислительный прием, предупредить его формальное выполнение. Только после этого формулируется алгоритм сложения в столбик:

+	45
	23

1. Пишу десятки под единицами, единицы под единицами.

2. Складываю единицы: 5 + 3 = 8.

3. Складываю десятки: 4 + 2 = 6.

4. Читаю ответ: 68.

Остальные случаи сложения и вычитания двузначных чисел в столбик рассматриваются аналогично. При их рассмотрении следует обратить внимание на наиболее сложные случаи, когда сложение и вычитание происходит с переходом в другой разряд: 37 + 48 и 52 – 24. при освоении этих приемов ребенок иногда забывает, что при сложении с переходом через десяток в разряд десятков нужно добавить еще одну единицу, а при вычитании с переходом через десяток из количества десятков уменьшаемого нужно вычесть одну единицу. Чтобы предупредить эту типичную ошибку, целесообразно использовать следующие приемы: при сложении над разрядом десятков дописывать цифру 1, а при вычитании над разрядом десятков ставить точку, обозначающую то, что один десяток из уменьшаемого заменили на десять единиц и добавили их к единицам уменьшаемого.

	1			•
+	37		–	52
	48			24
	85			28

Сложение и вычитание трехзначных чисел в столбик изучается на основе алгоритмов сложения и вычитания в столбик двузначных чисел. Отличие состоит только в том, что добавляется еще один шаг: «Складываю (вычитаю) сотни …». Все приемы фиксации в записи перехода в другой разряд остаются прежними.

Сложение и вычитание трехзначных чисел в столбик изучается на основе алгоритмов сложения и вычитания в столбик двузначных чисел. Отличие состоит только в том, что добавляется еще один шаг: «Складываю (вычитаю) сотни …». Все приемы фиксации в записи перехода в другой разряд остаются прежними.

Опираясь на алгоритмы письменного сложения и вычитания трехзначных чисел в столбик, можно легко перейти к сложению и вычитанию многозначных чисел. Обобщить этот вычислительный прием ребенок может и сам, без существенной помощи взрослого.

Следует особо выделить наиболее трудный случай вычитания чисел вида:

–	6005
	327

В этом примере дети часто вычитают 3 и 2 не из девяти, а из десяти. Чтобы предупредить эту ошибку, нужно подробно рассмотреть процесс дробления единиц более крупного разряда и распределения их между единицами более мелких разрядов: «Так как из 5 единиц нельзя вычесть 7 единиц, а единицы десятков и сотен в уменьшаемом отсутствуют, то из 6 тысяч берем 1 тысячу и дробим ее на 10 сотен. Из 10 сотен берем 1 сотню и заменяем ее на 10 десятков (остается 9 сотен, которые мы подписываем над разрядом сотен). Из 10 десятков берем 1 десяток и заменяем его на 10 единиц (цифру оставшихся 9 десятков подписываем над разрядом десятков). Десять единиц да пять единиц дают 15 единиц …». После этого процесс вычитания выполнить уже легко. Запись, таким образом, выглядит следующим образом:

	. 99
–	6005
	327

Выполнить задание:

1. На занятии изучите статьи по теме и выполните задание. Перечислите возможные ошибки учащихся при решении следующих примеров:

   +	121346		–	10004
   	3502			397

2. Самостоятельно выполните задания:

1. Вставьте пропущенные цифры:

   +	345?		–	64853
   	94?7			1?1??
   	1??39			?9?55

2. Вставьте вместо вопроса число так, чтобы корень первого уравнения был равен корню второго уравнения:

х – 10003 = 513; х – (10003 + ?) = 499.

3. Пользуясь первым равенством, найдите значение второго равенства: 41835 – 2016 = 33819, 418835 – 2026 = ?

4. Сколько еще равенств из этих чисел можно составить используя равенство: 3612 – 837 = 2715.

5. Не выполняя действий сравните значение выражение с числом: 276 + 242 и 500.

6. Из чисел 699762, 8579, 92838, 167148 составьте всевозможные примеры на сложение и вычитание, решите их.

7. К заданиям 1-6 подберите и составьте еще по два примера.

8. Какие еще задания можно предложить для формирования у учащихся вычислительных навыков? Запишите их.

Рекомендательная литература

1. Волкова С.И., Моро М.И. Сложение и вычитание многозначных чисел // Начальная школа. – 1989. – № 9. – С. 34-41.

2. Бельтюкова Г.В. Методические ошибки при формировании у школьников вычислительных навыков // Начальная школа. – 1980. – № 8. – С. 20-27.

3. Уткина Н.Г. Изучение трудных тем по математике. – М.: Просвещение, 1982. – С. 10-18.