1.3.Технология решения транспортной задачи

Целью транспортной задачи является планирование наиболее рациональных путей и способов транспортировки товаров. В сущности, технология решения транспортной задачи линейного программирования практически ничем не отличается от технологии решения других оптимизационных задач. Рассмотрим это на примере.

Пример 1.3

Производство продукции осуществляется на четырех предприятиях, а затем развозится в 5 пунктов потребления. Предприятия могут выпускать в день 235, 175, 185 и 175 единиц продукции. Пункты потребления готовы принимать ежедневно 125, 160, 60, 250 и 175 единиц продукции. Хранение на предприятии единицы продукции обходится в 2 у. е. в день, штраф за недопоставленную продукцию – 3,5 у. е. в день. Стоимость перевозки единицы продукции (в у. е.) с предприятий в пункты потребления приведена в табл.1.4.

Таблица 1.4. Транспортные расходы

Предприятия	Пункты потребления
	1	2	3	4	5
1	3,2	3	2,35	4	3,65
2	3,0	2,85	2,5	3,9	3,55
3	3,75	2,5	2,4	3,5	3,4
4	4	2	2,1	4,1	3,4

Решение задачи сводится к реализации следующих этапов:

1. Проверка сбалансированности модели задачи. Модель является сбалансированной, т. к. суммарный объем производимой продукции в день равен суммарному объему потребности в ней:

235 + 175 + 185 + 175 = 125 + 160 + 60 + 250 + 175.

2. Построение математической модели. Неизвестными в этой задаче являются объемы перевозок. Пусть x_ij – объем перевозок с i-го предприятия в j-й пункт потребления; a_i – объем производства на i-м предприятии; b_j – спрос в j-м пункте потребления; c_ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-го предприятия в j-й пункт потребления. Суммарные транспортные расходы – это функционал качества (критерий цели):

Неизвестные в этой задаче должны удовлетворять следующим ограничениям: объемы перевозок не могут быть отрицательными; поскольку модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с предприятий, а потребности всех пунктов потребления должны быть полностью удовлетворены. Найти минимум функционала при ограничениях

3. Решение задачи с помощью окна Поиск решения:

- подготовка рабочего листа для задачи (рис. 1.11). Формулы для расчета приведены в табл. 1.5;

Рис. 1.11. Исходные данные для решения транспортной задачи

Таблица 1.5. Формулы для расчета в транспортной задаче

Описание	Ячейка	Формула
Ограничения_1	G11	=CУMM(B11:F11)
	G12	=СУММ(В12:F2)
	G13	=СУММ(В13:F.З)
	G14	=СУММ(В14:F4)
Ограничения_2	В15	=СУММ(В11:В14)
	С15	=СУММ(С11:С14)
	D15	=CУMM(D11:D14)
	Е15	=СУММ(Е11:Е14)
	F15	=CУMM(F11:F14)
Целевая функция	В19	=СУММПР0ИЗВ (B5:F8;B11:F14)

- ввод данных в окно Поиск решения (рис. 1.12);

Рис. 1.12. Ввод данных в окно Поиск решения для транспортной задачи

- результат решения представлен на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Оптимальное решение для транспортной задачи

Пример 1.4. На складах Al, A2, A3 имеются запасы товаров в количествах 90, 400 и 110 т соответственно. Грузополучатели Bl, B2, B3 должны получить эти товары в количествах 130, 300, 160 т соответственно. Требуется найти такой вариант перевозки грузов, при котором сумма затрат на перевозки будет минимальной. Расходы по перевозке 1 т грузов в условных единицах приведены в таблице 1.6.

Таблица 1.6

Грузополучатели	Склад A1	Склад A2	Склад A3
B1	2	5	2
B2	4	1	5
B3	3	6	8

Решение

Математическая модель

Введем следующие обозначения:

Х₁₁ – количество товара, перевозимое грузополучателю В1 со склада А1;

Х₁₂ – количество товара, перевозимое грузополучателю В1 со склада А2;

Х₁₃ – количество товара, перевозимое грузополучателю В1 со склада А3;

Х₂₁ – количество товара, перевозимое грузополучателю В2 со склада А1;

Х₂₂ – количество товара, перевозимое грузополучателю В2 со склада А2;

Х₂₃ – количество товара, перевозимое грузополучателю В2 со склада А3;

Х₃₁ – количество товара, перевозимое грузополучателю В3 со склада А1;

Х₃₂ – количество товара, перевозимое грузополучателю В3 со склада А1;

Х₃₃ – количество товара, перевозимое грузополучателю В3 со склада А3;

Тогда целевая функция будет иметь вид

L=2x₁₁+5x₁₂+2x₁₃+4x₂₁+x₂₂+5x₂₃+3x₃₁+6x₃₂+8x₃₃ min

при ограничениях:

Представим математическую модель на рабочем листе в виде, изображенном на рис. 1.14, записывая в ячейку В9 формулу функции цели, а в ячейки В11 - В16 формулы ограничений.

В диалоговом окне Поиск решения в соответствующих полях установим адрес целевой ячейки, адрес диапазона, содержащего подбираем параметры, введем все ограничения, установим переключатель Минимальному значению (рис. 1.15).

После выполнения вычислений будет получен результат, представленный на рис. 1.16. Минимальные затраты на перевозку грузов со складов потребления при полученном плане перевозок составляет 1360 у.е.

Рис. 1.14

Рис. 1.15

Рис. 1.16