14.Дискретный вариационный ряд и его числовые характеристики

Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Просматривая это множество чисел, трудно выявить какую-либо закономерность их варьирования (изменения). Для изучения закономерностей варьирования значений случайной величины опытные данные подвергают обработке.

Пример 1. Проводились наблюдения над числом Х оценок полученных студентами ВУЗа на экзаменах. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5. Здесь число Х является дискретной случайной величиной, а полученные о ней сведения представляют собой статистические (наблюдаемые) данные.

Расположив приведенные выше данные в порядке неубывания и сгруппировав их так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины будут одинаковы, получают ранжированный ряд данных наблюдения.

В примере 1 имеем четыре группы со следующими значениями случайной величины: 2; 3; 4; 5. Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называют вариантом, а изменение этого значения варьированием.

Варианты обозначают малыми буквами латинского алфавита с соответствующими порядковому номеру группы индексами - x_i. Число, которое показывает, сколько раз встречается соответствующий вариант в ряде наблюдений называют частотой варианта и обозначают соответственно - n_i.

Сумма всех частот ряда - объем выборки. Отношение частоты варианта к объему выборки n_i / n = w_i называют относительной частотой.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот.

15.Интервальный статистический ряд и его числовые характеристики.

Интервальный статистический ряд строится для непрерывных случайных величин и для дискретных случайных величин с большим числом вариант.

Пусть – интервал возможных значений случайной величины , в частности .Этот интервал разбивают на частичные интервалы и подсчитывают количество значений из выборочных совокупностей (1), принадлежащих каждому частичному интервалу . Затем составляют таблицу, в верхней строчке которой указаны частичные интервалы, а в нижней – соответствующие им частоты. Полученную таблицу называют интервальным статистическим рядом кратностей (относительных частот). Для графического изображения интервального статистического ряда используют гистограмму. Для этого на оси абсцисс отмечают частичные интервалы, над каждым из которых строится отрезок (горизонтальный) с ординатой или , где – длина “i” – го частичного интервала. Площадь под гистограммой равна единице, так же как и под графиком , поэтому гистограмма дает представление о графике плотности распределения вероятности изучаемой случайной величины . Можно середины отрезков соединить плавной кривой, дающей представление о графике . Отсюда можно сделать предположение о виде закона распределения. В нашем случае естественно сформировать гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины .

5) Эмпирическая функция распределения.

Она служит аппроксимацией (приближением) или количественной оценкой для неизвестной функции распределения:

Согласно теории Бернулли, относительная частота события А в вероятностном смысле сходится к вероятности этого события:

при

. Значит, в качестве оценки функции распределения можно взять относительную частоту

Def: функцию , где “n” – число независимых опытов или объем выборочной совокупности (1) называют эмпирической функцией распределения. По – другому можно записать следующим образом: обозначим – число значений из совокупности (1), удовлетворяющих неравенству тогда .