12.Получение законов Кирхгофа в комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма мгновенных значений токов в любом узле цепи равна нулю: Σi = 0.Выразив мгновенные значения токов через их комплексные выражения, получим первый закон Кирхгофа в комплексной форме:ΣI = 0.Сумма комплексных значений токов в любом узле цепи равна нулю. Поскольку комплексные значения токов состоят из действительных и мнимых частей, очевидно, должны быть равны нулю отдельно сумма действительных и сумма мнимых частей комплексных значений токов в узле цепи:

ΣI cos ψ = 0,   ΣI sinψ = 0.

Для любого замкнутого контура цепи переменного тока может быть составлено уравнение мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений по второму закону Кирхгофа:

Σе = Σir + Σu.

Выразив ЭДС, токи и напряжения в комплексной форме, получим второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

ΣE = ΣIZ + ΣU.

Сумма комплексных значений ЭДС при обходе замкнутого контура равна сумме произведений комплексных значений токов на соответствующие комплексные значения полных сопротивлений и сумме комплексных значений напряжений.

Комплексные E, U и I имеют знак плюс, если принятые направления этих величин совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и знак минус, когда направления противоположны.

Необходимо отметить, что равенство суммы комплексов правой и левой частей уравнения не означает равенства их модулей. Должны быть отдельно равны суммы действительных и мнимых составляющих комплексов левой и правой частей уравнения.

13. Выражение мощности в комплексной форме.Полная мощность цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и тока:S = UI.Казалось бы, выразив напряжение и ток в комплексной форме, можно получить комплексное значение полной мощности. Однако перемножение комплексных значений напряжения и тока не дает реальных полной, активной и реактивной мощностей цепи.Комплексное значение полной мощности, отражающее реальные мощности в цепи, получится, если умножить комплексное значение напряжения на сопряженное комплексное значение тока:S = UI*.Сопряженное комплексное значение тока I* отличается от I знаком перед мнимой частью.Если комплексное значение тока I = е^jψ, то сопряженное ему комплексное значение I* = Iе^-jψ.Покажем, что комплексное значение мощности отражает реальные мощности в цепи.Допустим, что комплексные значения напряжения и тока какой-то цепи имеют выраженияU = Ue^jψ1; I = Ie^jψ2..

Комплексное значение полной мощности S = UI* = Ue^jψ1Ie^-jψ2 = UIe^{j(ψ1 - ψ2)} = Se^jφ.

Выразив комплексное значение полной мощности в тригонометрической, а затем в алгебраической форме, получим

S = S cos φ + jS sinφ = Р + jQ, где S cos φ = P — активнаямощностьцепи; S sin φ = Q — реактивнаямощностьцепи; S = √р² +Q² — полная мощность.

Q_L=wL*I²; Qc=1/wc* I², где Q – реактивная мощность, I – действующее значение тока. Q= Q_L-Qc – реактивная мощность

Следует отметить, что при активно-индуктивном характере нагрузки (ψ₁ > ψ₂) знак перед jQположительный, при активно-емкостном (ψ₂ > ψ₁) — отрицательный.