Код с исправлением одной ошибки.

{(5) – стр. 6} Рассмотрим БЧХ-коды для случая поля Таким образом, . Полином является примитивным полиномом над . Обозначим через его произвольный корень. Построим код БЧХ, исправляющий не менее, чем t = 1 ошибку. Его порождающий полином g(x) строится как минимальный многочлен для элементов . Эти элементы входят в один смежный класс . Поэтому . В результате получаем (7; 4; 3)-код, являющийся кодом Хэмминга.

Код с исправлением двух ошибок.

{(5) – стр. 6 внизу, лень переписывать длинные формулы}

Код с исправлением трех ошибок

Слайд 405.

Коды бчх: общая схема декодирования.

{(5) – стр. 7} – полином локаторов ошибок.

1. Для принятого слова найти все синдромы

2. Найти полином локаторов ошибок путем решения уравнения с помощью расширенного алгоритма Евклида;

3. Найти все корни полным перебором; пусть найденные корни равны

4. Найти позиции ошибок , где – порядок примитивного элемента ;

5. Исправить ошибки

6. Найти все синдромы ; если они не равны нулю, то выдать отказ от декодирования.

Понятие действия группы на множестве, фиксатор и стабилизатор. Примеры.

Действие группы на множестве.

{(1) – стр. 46} Действием группы G на множестве T называется гомоморфизм биекций множества T (взаимно однозначных отображений множества T на себя)

Фиксатор.

{(3) – слайд 465} Фиксируем g, т.е. находим все элементы множества T ,которые перестановка g оставляет на месте

Стабилизатор.

{(3) – слайд 465} Фиксируем t, т.е. находим все перестановки g, которые оставляют данный элемент неподвижным

Примеры

Лемма Бернсайда и её применение.

Лемма Бернсайда.

{(3) – слайды 461 и 467}

• Отношение эквивалентности на T – . Классы этой эквивалентности называют орбитами. Число орбит обозначается C(G).

• Лемма Бернсайда:

Применение.

Лемма Бернсайда применяется для решения комбинаторных задач (определить число неэквивалентных слов, перестановок, раскрасок) – слайды 481 и далее. Для применения универсального способа вычисления C(G) надо представить эквивалентные элементы множества как классы эквивалентности действия некоторой группы на этом множестве.

Цикловой индекс действия группы.

{(3) – слайд 492} Сопоставим каждой перестановке вес по правилу , где – количество циклов длины k в перестановке (вики). Цикловой индекс действия группы – средний вес подстановок в группе:

Группы симметрий правильных многоугольников (диэдральные группы) и группы вращений правильных многогранников. Примеры. Их цикловые индексы.

Теорема Редфилда-Пойа и её применение.

{(3) – слайд 532}

1. К множеству T, |T| = N,группе G, |G|= n и действию G:T добавим множество меток. Дадим вес элементам R: .

2. Теорема Редфилда-Пойа Цикловой индекс действия группы G на R^T есть

3. Применяется в комбинаторных задачах для подсчета количества разметок данного типа (содержащих данное количество элементов конкретного цвета).

Идеалы и фильтры частично упорядоченного множества. Конусы. Точные грани.

Частично упорядоченное множество.

{(3) – слайд 575} Пару , где P – непустое множество, а ≤ – рефлексивное, антисимметричное и транзитивное бинарное отношение на нём, называют частично упорядоченным множеством.

• Рефлексивность – x ≤ x

• Антисимметричность –

• Транзитивность –

Порядковый идеал.

Подмножество J элементов ч.у. множества называется его (порядковым) идеалом, если

Порядковый фильтр.

Подмножество F элементов P называется его (порядковым) фильтром, если

Верхние и нижние конусы и грани.

Пусть – ч. у. множество и . Множества , определяемые условиями называются верхним и нижним конусами множества A, а их элементы — верхними и нижними гранями множества A соответственно.

Главные идеалы и фильтры.

фильтр P. Такие идеалы и фильтры называют главными.

Точные грани.

Наименьший элемент в называется точной верхней гранью множества A (символически sup A). Наибольший элемент в называется точной нижней гранью множества A (символически inf A).

Теорема Шпильрайна. Линейное продолжение частично упорядоченного множества.

Теорема Шпильрайна.

{(3) – слайд 607} Любой частичный порядок ≤ может быть продолжен до линейного на том же множестве. Каждый порядок есть пересечение всех своих линейных продолжений (линеаризаций).

Линейное продолжение частично упорядоченного множества.

Спектр и размерность частично упорядоченного множества.

Спектр частично упорядоченного множества.

{(3) – слайд 622} , Pr(E) – вероятность E.

Размерность частично упорядоченного множества.

{(3) – слайд 627} Наименьшее число линейных порядков, дающих в пересечении данное ч.у. множество P называется его порядковой размерностью (символически dim(P)). Наименьшее число линейных порядков, таких, что P вкладывается в их декартово произведение, называется мультипликативной размерностью.

Фундаментальная теорема о конечных дистрибутивных решётках.

{(3) – слайд 696} Фундаментальная теорема. Всякая конечная дистрибутивная решётка L изоморфна решётке порядковых идеалов ч.у. множества её неразложимых элементов:

Соответствия Галуа.

{(3) – слайд 715} Пусть P и Q – частично упорядоченные множества. Пара отображений , удовлетворяющая свойствам:

• антиизотонны

• – операторы замыкания (на P и Q соответственно).

называется соответствием Галуа между P и Q.

Источники

1. Ю. И. Журавлёв, Ю. А. Флёров, М. Н. Вялый – «Дискретный анализ. Основы высшей алгебры»

2. http://ru.wikipedia.org/

3. Слайды

4. Г. Д. Ким – «Линейная алгебра»

5. PA_coding_algorithms.pdf