13.Векторное произведение векторов. Его св-ва. Определение векторного произведения через координаты векторов. Нахождение площадей параллелограмма и треугольника.

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор, обозначаемый символом   и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора   равен  , где   - угол между векторами   и  ;

2). Вектор   перпендикулярен к каждому из вектора   и  ;

3). Направление вектора   соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы  ,   и   приведены к общему началу, то вектор   должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору  ), а указательный - по второму (то есть по вектору  ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

.

Модуль векторного произведения   равен площади S параллелограмма, построенного на векторах   и  :

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где   - орт векторного произведения.

Векторное произведение   обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны. В частности,  .

Если система координатных осей правая и векторы   и   заданы в этой системе своими координатами:

,  ,

то векторное произведение вектора   на вектор   определяется формулой

,

или

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение   равно нулю, если векторы   и   коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

14.Смешанное произведение векторов, его св-ва. Определение смешанного произведения через координаты векторов. Определение объема параллелепипеда и прямокгольной пирамиды.

Смешанным произведением векторов   называется число  , равное скалярному произведению вектора   на векторное произведение векторов   и  . Смешанное произведение обозначается  .

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов   равен объему   параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение   положительно, если тройка векторов   — правая, и отрицательно, если тройка   — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение   равно нулю тогда и только тогда, когда векторы   компланарны:

 векторы   компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение:  , где   — угол между векторами   и  . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади   параллелограмма, построенного на векторах   и  : . Поэтому  . Алгебраическое значение   длины проекции вектора   на ось, задаваемую вектором  , равно по модулю высоте   параллелепипеда, построенного на векторах   (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему   этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла  . Если тройка   правая, то   и смешанное произведение   положительно. Если же тройка   левая, то   и смешанное произведение   отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство   возможно в трех случаях:   или   (т.е.  ),или   (т.е. вектор   принадлежит плоскости векторов   и  ). В каждом случае векторы   компланарны.