3. Базис системы векторов.

 Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример.

Определение. Любой вектор вида   =  называется линейной комбинацией векторов  . Числа   -коэффициентами линейной комбинации.

Пример.  .

Определение. Если вектор    является линейной комбинацией векторов  , то говорят, что вектор   линейно выражается через векторы  .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов   линейно-зависима, т. к. вектор  .

Определение базиса. Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1. Базис пространства  :  .

 2. В системе векторов    базисом являются векторы:  , т.к.  линейно выражается через векторы  .

Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1)     записать координаты векторов в матрицу,

2)    с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3)     ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4)    количество векторов в базисе равно рангу матрицы. 

12. Евклидово пространство. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координат осей. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное и векторное произведение векторов и их приложения.

Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и zиз L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α·x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

Проекция точки на ось - это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось (рис. 8). То есть, проекцией точки на ось является точка. 

Рис. 8

Проекция вектора на ось

О п р е д е л е н и е 1. Осью называется всякая прямая, на которой указано направление (рис. 22).

Рис. 22

О п р е д е л е н и е 2. Проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось (точка М₁) (рис. 23).

Рис. 23

Пусть теперь даны вектор   и ось ОХ. Опустим из точек А и В перпендикуляры на ось ОХ и обозначим их основания соответственно С и D (рис. 24а).

О п р е д е л е н и е 3. Проекцией вектора   на ось ОХ называется длина отрезка CD этой оси, заключенного между проекциями его начальной и конечной точек, взятая со знаком “+”, если направление отрезка CD совпадает с направлением оси проекций, и со знаком “-”, если эти направления противоположны.

а)	б)
Рис. 24

Перенесем вектор   параллельно в точку С, тогда проекция вектора на ось положительная, если вектор   образует с осью ОХ острый угол и отрицательная, если тупой (рис. 24б).

Т е о р е м а. Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью.

.                                         (2.2)