5. Обратная матрица. Способы нахождения.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Найти определитель матрицы А. Если он =0, то матрица вырожденная и не имеет обратной матрицы, а если он не равен 0,то матрица не вырожденная и имеет обратную.

2. Транспонировать матрицу А.

3. Выписать все алгебраические дополнения к транспонированной матрице.

4. Составить союзную матрицу А~ из полученных алг. Дополнений

5. Найти обратную матрицу по формуле

6. Сделать проверку: А * А=А * А=Е

7. Вычисление определителей высших порядков. Теорема Лапласа. Приведение определителя к ступенчатому виду.

( Определители высших порядков и Теорема Лапласа - смотри вопрос номер 4, 5 )

8. Классификация систем линейных уравнений. Решение системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. Метод Гаусса, метод Крамера, матричный метод.

Системы уравнений бывают:

• Равносильными называются две системы уравнений, если они имеют одно и тоже множество решений.

• Совместной называется система уравнений, если она имеет хотя бы одно решение.

• Несовместной называется система уравнений, если она не имеет ни одного решения.

• Определенной называется система уравнений, если она имеет единственное решение.

• Неопределенной называется система уравнений, если она имеет бесконечное множество решений.

Решение при помощи обратной матрицы:

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

.

Решение. С помощью первого уравнения нужно исключить из последующих уравнений переменную  .

Шаг 1. Чтобы с помощью первого уравнения исключить переменную   к последующим уравнениям прибавим первое, умноженное на -1. Получим систему

.

Шаг 2. Оставляя без изменения первое уравнение новой системы, с помощью второго исключаем переменную   из последующих уравнений. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 3/5, а к четвёртому – второе, умноженное на 7/5. В результате получим систему

.

Шаг 3. Сохраняя первые два уравнения новой системы, с помощью третьего уравнения исключаем переменную   из последнего уравнения. Для этого к четвёртом уравнению прибавим третье, умноженное на -6/4. В результате приходим к системе треугольной формы:

.

Последнее уравнение превратилось в уравнение вида  . Это уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных и его можно отбросить.

Чтобы удовлетворить третьему уравнению, можем для   выбрать произвольное значение  . Тогда значение для   определится так:

; далее:

;

.

9. Система n- линейных уравнений с m переменными. Теорема Кроникера-Капелли. Базисное и частное решения.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную мат­рицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.

~ ~

~ .

Таким образом, матрица   содержит две ненулевые строки, значит ее ранг   равен двум. В матрице   три ненулевых строки, ее ранг   равен трем. А т.к.  , система несовместна.

Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₂ = [6 - (9x₃)]/(-3)

x₁ = [0 - (5x₂ + 7x₃ - 10x₄)]/(-4)

Необходимо переменные x₃,x₄ принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Приравняем переменные x₃,x₄ к 0

Из 3-ой строки выражаем x₂

Из 4-ой строки выражаем x₁

Пример 1. Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы

Решение. Выпишем расширенную и основную матрицы:    Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x₁ в правую часть уравнений.    Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.    Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.    Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.    Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3.  Минор   является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₂, x₃, x₄, значит, неизвестные x₂, x₃, x₄ – зависимые, а x₁, x₅ – свободные.  Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).    Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Методом исключения неизвестных находим:  ,  ,    Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₂, x₃, x₄ через свободные x₁ и x₅, то есть нашли общее решение:    Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:  1) пусть x₁ = x₅ = 0, тогда x₂ = 1, x₃ = -3, x₄ = 3;  2) положим x₁ = 1, x₅ = -1, тогда x₂ = 4, x₃ = -7, x₄ = 7.  Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.

10. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Системы линейных уравнений в экономических задачах.

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

       a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 … … … … … … … … … … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O

1.  Решить систему уравнений методом Гаусса.  Решение.  Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:   Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например,   следует рассматривать как свободный параметр.  Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение   и выразить базисные неизвестные  ,   и   через  c.  Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений: Из последнего уравнения следует, что  .  Выразим остальные базисные переменные:   Таким образом, общее решение системы найдено: Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Полагая  c = 4, получаем Проверка: Подставим неизвестные                   в уравнения системы: Уравнения обратились в тождества.

***

2.  Пусть  . Найти общее решение однородной системы линейных уравнений  AX = 0.  Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду:   Поскольку  , а число неизвестных равно 4, то две неизвестные должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как свободные параметры. Полагая   и , получаем уклрлченную систему уравнений решение которой имеет вид ,      . Запишем общее решение и представим его в виде линейной комбинации частных решений: Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа то говорят, что частные решения   образуют фундаментальную систему решений. В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений образуют частные решения    и   .

***

3.  Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид Очевидно, что и поэтому частные решения образуют фундаментальную систему решений.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю:

Однородная система всегда совместна, поскольку она всегда имеет тривиальное (нулевое) решение. Однако наибольший интерес представляют нетривиальные решения.

Теорема 1. Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: r(A)=r<n.

Справедливо следующее утверждение: линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является ее решением.

Максимальная линейно независимая система решений называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений содержит (n-r) векторов. Любое решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений.

Для нахождения фундаментальной системы решений нужно:

1) r базисных переменных выразить через свободные переменные;

2) выбрать линейно независимую систему (n-r) векторов (n-r)-мерного пространства (например, это могут быть единичные векторы);

3) поочередно заменить свободные переменные координатами векторов выбранной системы и вычислить значения базисных переменных.

Полученные решения  , , …,  образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

,

где   - произвольные числа.

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В современной экономике используется множество математических методов, разработанных ещё в 20 веке. Применение линейной алгебры значительно упростило решение многих экономических задач. В данной работе рассматриваются основные способы решения задач с помощью элементов линейной алгебры. Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют большое значение для экономистов, основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности. Например, дана следующая таблица средних розничных цен на автомобили в зависимости от срока их службы (условных единиц). Продолжительность службы (годы) Годы   2005 2006 2007 1 1881 2120 2445 2 1512 1676 1825 3 1261 1397 1484 4 1054 1144 1218 Предложенную таблицу можно записать в виде матрицы следующим образом: где содержательное значение каждого показателя определяется его местом в матрице. К примеру, число 1825 во второй строке третьего столбца представляет собой цену прослужившего 2 года автомобиля в 2007 году. Аналогичным образом находим, что числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и тот же срок в различные годы, а числа в столбце – цены автомобилей различного срока службы в данном году. Таким образом, место, занимаемое числом в матрице, характеризует продолжительность использования автомобиля и год, к которому относится цена. Применение матриц при решении экономических задач рассмотрим на следующем примере. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1, S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей: где каждый элемент aij (i = 1, 2, 3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C = (100 80 130).Стоимость единицы каждого типа сырья (денежных единиц) – матрицей-столбцом  . Необходимо найти общую стоимость сырья. Решение: Затраты первого сырья составляют S1 = 2∙100 + 5∙80 + 1∙130 = 730единиц, а второго S2 = 3∙100 + 2∙80 + 4∙130 = 980 единиц. Значит затраты сырья S могут быть записаны в виде матрицы строки (730 980) и произведения: Общая стоимость сырья Q = 730∙30 + 980∙50 = 70900 (денежных единиц) может быть записана в следующем виде: Q = S∙B = (CA)B = (70900). Вывод: общая стоимость сырья составляет 70900. Также экономические задачи можно решать с помощью систем линейных уравнений. Рассмотрим и решим с помощью системы линейных уравнений следующую задачу: Из определенного листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице: Тип заготовки Способ раскроя 1 2 3 А 3 2 1 Б 1 6 2 В 4 1 5 Записать в математической форме условия выполнения задания. Решение: Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3 заготовок типа А, при втором – 2y, при третьем – z. Для полного выполнения задания по заготовкам типа А должно выполняться равенство: . Таким же способом получаем уравнения:   Имеем систему: Данным уравнениям должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом Гаусса. 1. Запишем систему в виде матрицы. 2. Составим расширенную матрицу системы. 3. Приведём полученную матрицу к треугольному виду. Исходная система равносильна следующей: Решая полученную систему, имеем: x = 90, y = 15, z = 60. Вывод: вектор C (90, 15, 60) есть решение системы. Также, говоря, о роли линейной алгебры в экономике нельзя не упомянуть о модели многоотраслевой экономики Леонтьева, которая была разработана в виде математической модели в 1936 году. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа. Рассмотрим задачу: В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. ден. ед. Отрасль Потребление Конечный продукт Промышленность Сельское хозяйство Производство Промышленность 0,3 0,2 300 Сельское хозяйство 0,15 0,1 100 Найти: плановые объёмы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей. Решение: 1. Выпишем матрицу коэффициентов прямых затрат A, вектор конечной продукции Y:   Заметим, что матрица A продуктивна, так как её элементы положительны и сумма элементов в каждом столбце меньше единицы. 2. Найдем матрицу Тогда матрица полных затрат: 3. По формуле X = (E – A)–1⋅Y = SY найдем вектор валового продукта X: 4. Межотраслевые поставки xij найдём по формуле xij = aij∙xj X11 = a11∙x1 = 0,3·483 = 144,9; X12 = 0,2·192 = 38,4; X21 = 0,15·483 = 72,45; X22 = 0,1·192 = 19,2. 5. Чистая продукция промышленности равна: 483 – 144,9 – 72,45 = 265,65 Чистая продукция сельского хозяйства: 192 – 38,4 – 19,2 = 134,4. Итак, рассмотрев в данной статье некоторые задачи и их решения, можно сказать, что это лишь небольшая часть математических методов, используемых в экономике. Экономика и математика, очень тесно связаны и постепенно математические методы и модели начинают занимать очень важное место в экономике.