22. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Уравнение прямой в зависимости от параметра. Длина отрезка и деление отрезка в заданном соотношении.

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки  ( ,  ) и  ( ,  ), и дано отношение  , в котором точка М делит отрезок  , то координаты точки М определяются по формулам

,  .

Если точка М является серединой отрезка  , то ее координаты определяются по формулам

,  .

Длина отрезка на координатной плоскости.

Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов:

Координаты середины отрезка.

Пусть точка С является серединой отрезка АВ:

Формула для нахождения координат середины отрезка:

Уравнение прямой походящей через две данные точки.

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

где  (х₁; у₁)  и   (х₂; у₂)  координаты заданных точек.     

Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду:

y = kx + b, где k — это угловой коэффициент прямой

23. Условия параллельности и перпендикулярности прямых и угол между ними. Расстояние от точки до прямой.

Пусть на плоскости заданы две прямые:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, т.е.

,или . (7.1)

Пример 1.  Составить уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой   .

Решение. Составим уравнение прямых, проходящих через точку   :

.   (7.2)

Выберем из этого пучка прямую, параллельную прямой   . Для этого воспользуемся условием параллельности прямых. Так как   ,то  .По формуле  (3.7) имеем,   . В формулу (7.2)  подставим значение  :

Ответ: .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е.

или

  (7.3)

Пример 2. Составить уравнение прямой   , проходящей через точку    перпендикулярно прямой   .

Решение. Составим уравнение прямых, проходящих через точку  ;  .   (7.4)

Найдем угловой коэффициент прямой   . Для этого воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как

то  .По формуле  (3.7) вычислим   .

Отсюда  .

Подставляя значение    в уравнение  (7.4), имеем:

Ответ:   .

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0,     (6)

угол между ними определяется по формуле

     (7)

24. Кривые 2-го порядка. Парабола. Эллипс. Гипербола.

25. Гипербола как дробно-рациональная функция.

26. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0                                        (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0, A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0;              (3.2)

2) двумя своими точками M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁ ) и M ₂ (x ₂, y ₂, z ₂ ), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

 =   ;                                       (3.3)

3) точкой M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁ ), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                        (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x ₁ + mt , y = y ₁ + nt , z = z ₁ + р t .                              (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой :

x = mz + a, y = nz + b.                                       (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n ₁, n ₂ ], где n ₁ (A ₁, B ₁, C ₁ ) и n ₂ (A ₂, B ₂, C ₂ ) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе   ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система    равносильна системе x = x ₁, y = y ₁ ; прямая параллельна оси Oz.