17.Собственный вектор и собственное значение матрицы

Если в квадратной матрице   выполняется равенство   (где  ,   – ненулевой столбец и   – число), то число   называется собственным значением (или характеристическим числом) матрицы   порядка  , а столбец   называется собственным вектором (столбцом) матрицы   соответствующий собственному значению  .

Множество всех собственных значений матрицы   совпадает с множеством всех решений уравнения  , где   – независимая переменная. Если раскрыть определитель  , то получится многочлен -й степени относительно  :

 

этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Его коэффициенты   зависят от элементов матрицы  , причем  .

Уравнение 

 

называется характеристическим уравнением матрицы  .

Множество всех собственных векторов матрицы  , принадлежащих ее собственному значению  , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений  .

Пример (списать из тетради)

18. Линейная модель обмена. Структура матриц.

Линейная модель торговли

Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно x1, x2, … , xn расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Пусть aij — доля бюджета xj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов aij:

Тогда если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (можно это трактовать как торговый бюджет), то справедливо равенство

ПРИМЕР. Доказать, что . РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

Матрица (16.12) со свойством (16.13), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. Pi ≥ xi:, или

Докажем, что в условиях (16.14) не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до n. Группируя слагаемые с величинами бюджетов xj, получаем

Нетрудно видеть, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам от первого до последнего, которые равны единице по условию (16.13). Стало быть, мы получили неравенство

откуда возможен только знак равенства.

Таким образом, условия (16.14) принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов  , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны; тогда систему уравнений (16.15) можно записать в матричной форме

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению λ = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Перепишем уравнение (16.16) в виде, позволяющем определить  :

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

Решение. Необходимо найти собственный вектор  , отвечающий собственному значению λ = 1 заданной структурной матрицы А, т.е. решить уравнение (16.17), которое в нашем случае имеет вид

Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной и остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора  :

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину с: с = 1210, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):