5. Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9 в десятковій системі числення
Ознака подільності на 2
Для того щоб число х ділилося на 5, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Ознака подільності на 5
Для того щоб число х ділилося на 5, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0 або 5.
Доведення: Запишемо число а = аnan-1…a0 у вигляді суми розрядних одиниць, яку розіб’ємо на два доданки: а = (аn10n + … + a110) + a0. Як бачимо, перший доданок ділиться і на 2, і на 5. Отже, щоб сума ділилась на 2 або на 5, необхідно і достатньо, щоб і другий доданок а0 ділився відповідно на 2 або на 5. Теорему доведено.
Ознака подільності на 4 (25)
Для того щоб число х ділилося на 4, необхідно і достатньо, щоб на 4 ділилося двохзначне число, утворене двома останніми числами десяткового запису числа х.
Доведення: Число а = аnan-1…a0 запишемо у вигляді суми двох доданків: а = (an10n + … +a2102) + (a110 + a0). Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число а як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число а1а0 = а110 + а0, утворене двома останніми цифрами числа а. Теорему доведено.
Ознака подільності на 3
Для того щоб число х ділилося на 3, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 3.
Ознака подільності на 9
Для того щоб число х ділилося на 9, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 9.
Доведення: Запишемо число а у вигляді: а = an10n + … + a110 + a0.
Оскільки
10 = 9 + 1, 102
= 99 + 1, ... , 10n
=
+1,
то an ( 99..9 + 1) + … +a1 (9 + 1) + a0 = (an99..9 + … + a19) + (an + … + a1 + a0).
Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9.
Отже, для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб сума одноцифрових чисел, виражених його цифрами (сума цифр) an+ … + a1 + a0, ділилась на 3 або на 9. Теорему доведено.
Отже, доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25.
Питання для узагальнення
Яка ознака подільності на 2 (5)?
Яка ознака подільності на 4 (25)?
Яка ознака подільності на 3 (9)?
6. Ознаки подільності на складені числа
Доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25. Природно виникає питання, чи існують ознаки подільності на 6, 12, 30 і взагалі на будь-яке складене число
Ознака подільності на 6.
Для того щоб число х ділилося на 6, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 або 2.
Доведення: Необхідність. Нехай а 6. Тоді оскільки а 6 і 6 2, то а 2. Через те що а 6 і 6 3, то а 3 (за властивістю транзитивності).
Достатність: Якщо а 2 і а 3, то а – спільне кратне чисел 2 і 3, а будь-яке кратне чисел ділиться на їхнє НСК. Отже, а К (2, 3). Оскільки Д (2, 3) = 1, то К (2, 3) = 2·3 = 6. Таким чином, а 6. Теорему доведено.
Теорема про подільність на складені числа: Для того, щоб натуральне число ділилось на складене число n = bc, де НСД (b,c) = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на b і с.
Доведення цієї теореми аналогічне доведенню ознаки подільності на 6.
Зауважимо, що дану теорему можна застосовувати багаторазово.
Ознака подільності на 12.
Для того щоб число х ділилося на 12, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 4.
Ознака подільності на 15.
Для того щоб число х ділилося на 15, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 5.
Ознака подільності на 18.
Для того щоб число х ділилося на 18, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 2 і 9.
Отже, існують ознаки подільності на 6, 12, 18 і взагалі на будь-яке складене число.
ІІІ. Заключна частина
Загальний висновок
Ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = b·q. Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають а b. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати а b = q.
Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7, ... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9, ... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.
Натуральне число, яке має лише два дільники, називається простим.
Отже, числа 2, 3, 5, 7 – прості числа.
Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.
Такими числами є 4, 6, 8, 9. Так число 6 має дільники 1, 2, 3, 6. Оскільки число 1 має тільки один дільник, то його не відносять ні до простих, ні до складених.
Існують ознаки подільності на 2, 5, 4 (25), 3, 9, 6, 12, 18 і взагалі на будь-яке складене число.
Запитання для узагальнення студентам
В якому випадку кажуть, що «ціле число ділиться на ціле число »?
Яким символом позначається відношення подільності?
Які числа називаються простими?
Які числа називаються складеними? Наведіть приклади.
Яка ознака подільності на 2 (5)?
Яка ознака подільності на 4 (25)?
Яка ознака подільності на 3 (9)?
Які існують теореми подільності? Сформулюйте їх.
Повідомлення домашнього завдання
Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 197-206.
(Впр.1, 6 (С. 206), впр.1, 2, 4, 8 (С. 209-210)).