3. Властивості відношення подільності

Відношення подільності має такі властивості: рефлективності, антисиметричності, транзитивності. Доведемо ці властивості.

Рефлективність

Теорема. Відношення подільності рефлексивне, тобто будь-яке натуральне число ділиться саме на себе, тобто .

Доведення. Для будь-якого натурального числа справедлива рівність . А це означає, що існує таке , що звідси за означенням відношення подільності .

З доведеної теореми випливає, що будь-яке ціле невід’ємне число ділиться на 1.

Антисиметричність

Теорема. Відношення подільності антисиметричне, тобто для будь-яких різних чисел і з того, що не слідує, що .

Доведення. Припустимо, що , тоді (1)

Оскільки , то (2)

Нерівності і правильні тільки в тому випадку, коли . Ми прийшли до суперечності з умовою. Отже наше припущення невірне, тобто відношення подільності антисиметричне.

Транзитивність

Теорема. Відношення подільності транзитивне, тобто з того що і слідує, що

Доведення

Якщо

Якщо

, де

Отже .

Відношення подільності є відношенням порядку, бо воно володіє властивостями антисиметричності і транзитивності. Якщо число ділиться на 6, то воно має вигляд 6 , тоді інші числа при діленні на 6 можуть мати остачу 1, 2, 3, 4, 5 це числа

6 +1, 6 +2, 6 +3, 6 +4, 6 +5. Тоді можна представити так

6 +5 6

6 +4 6 +1

6 +3 6 +2

Отже, відношення подільності на множині N₀ цілих невід’ємних чисел має властивості рефлективності, антисиметричності і транзитивності, тобто є відношенням нестрогого порядку, причому часткового порядку, бо не кожна пара цілих невід’ємних чисел знаходиться у відношенні подільності. Наприклад, і .

Питання для узагальнення

• Які властивості має відношення подільності?

• Коли відношення подільності рефлексивне?

• У чому заклечається властивість антисиметричності? Транзитивності?

4. Подільність суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел

Теорема про подільність суми на число. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне число , то і їх сума ділиться на це число.

Дано:

Довести:

Доведення: так як ,

так як ,

,

.

Наприклад. 1) Якщо 45 9 і 18 9 то (45+18) 9, справді 15 + 18 = 63, 63 9.

2) 204 17, так як 204 = 170 + 34, то 170 17 34 17.

Теорема про неподільність суми на число. Якщо в сумі один з доданків не ділиться на число , а всі останні доданки діляться на число , то вся сума на число не ділиться.

Дано: (1)

,

Довести: s

Доведення: (від супротивного). Припустимо що , тоді з рівності (1)

Так як і за теоремою про подільність суми , то за теоремою про подільність різниці , а це суперечить умові. Оже .

Наприклад, (190+13) не 19, так як 190 19 13 19.

Теорема про подільність різниці на число. Якщо числа а і b діляться на n і а ≥ b, то а – b теж ділиться на n.

Доведення аналогічне до теореми подільності суми.

Теорема про подільність добутку на число. Якщо один із співмножників добутку ділиться на натуральне число n, то і весь добуток ділиться на n.

Доведення. нехай а n, то а = n · q (·b)

a · b = (n · q) · b, звідси a · b = n · (q · b), але q · b – ціле невід’ємне число k, тоді a · b = n · k a · b n.

Наслідок: Якщо в добутку аb множник а ділиться на m, а множник b ділиться на n, то добуток аb ділиться на mn. Наприклад, 24∙36 ділиться на 108, бо 108 = 12∙9.

Отже, існують теореми подільності: про подільність суми на число, про подільність різниці на число і про подільність добутку на число.

Питання для узагальнення

• Які існують теореми подільності?

• Сформулюйте теорему подільності суми на число (різниці на число, добутку на число).