4. Специальные бинарные отношения

1. Доказать, что если отношения ₁ и ₂ рефлексивны, то рефлексивны и отношения: ₁₂, ₁₂, ₁^-1, ₁₂.

2. Доказать, что если отношения ₁ и ₂ иррефлексивны, то иррефлексивны и отношения: ₁₂, ₁₂, ₁^-1. Показать, что композиция ₁₂ иррефлексивных отношений может не быть иррефлексивной.

3. Доказать, что если отношения ₁ и ₂ симметричны, то симметричны и отношения: ₁₂, ₁₂, ₁^-1, ₁₁^-1.

4. Доказать, что композиция симметричных отношений ₁ и ₂ симметрична тогда и только тогда, когда ₁  ₂  ₂  ₁.

5. Доказать, что если отношения ₁ и ₂ антисимметричны, то антисимметричны и отношения: ₁₂ и ₁^1, а объединение ₁₂ антисимметричных отношений на А антисимметрично тогда и только тогда, когда ₁₂^1  _А.

6. Построить бинарное отношение, симметричное и транзитивное, но не рефлексивное. Доказать, что если  есть транзитивное и симметричное отношение на множестве А и dom  rng = A, то  есть эквивалентность на А.

7. Доказать: что любое бинарное отношение, являющееся одновременно симметричным и антисимметричным, транзитивно.

8. Доказать что бинарное отношение  на множестве А является одновременно эквивалентностью и частичным порядком тогда и только тогда: когда = _А.

9. Пусть А - множество всех прямых на плоскости. Являются ли эквивалентностями следующие отношения:

9.1. параллельности прямых,

9.2. перпендикулярности прямых?

10. Доказать, что отношение равномощности множеств есть эквивалентность. Что является классами эквивалентности в этом случае?

11. Пусть  и < на множестве N= {1,2,3,...} определены обычным образом. Доказать, что

11.1. <<<;

11.2. = ;

11.3. =N².

12. Доказать, что если ₁₂ , то

12.1. q₁  q₂ ;

12.2. ₁q₂q;

12.3. ₁^1  .₂^1.

13. Пусть I-универсум. Доказать, что Р(I) частично упорядочено отношением включения .

14. Пусть аbа, bN и а делитель b. Доказать, что  - частичный порядок на N.

5. Функции алгебры логики

1. Построить таблицу истинности для формулы и, используя правила равносильных преобразований формул, привести ее к ДНФ и к КНФ, построить полином Жегалкина. Проверить правильность выполненных преобразований с использованием диаграмм Вейча. Найти существенные переменные функции, заданной формулой

1.1.

1.2.

1.3. (xy)(yz);

1.4. (x(xy)) z;

1.5. (xy)  (xz);

1.6. (xz)  ( yz);

1.7. (x(yz))  (xz);

1.8. ( xz (yx))  (xy);

1.9. (x y)  (z x);

1.10. (x(yz))  yz;

1.11. (x &y) (yz);

1.12. (x(yz))z;

1.13. (zy)(xyz);

1.14. (xz)(y x);

1.15. (x(zy))xz;

1.16. (yxz)(y z);

1.17. (x z)(xy);

1.18. (z(x &y)  (x & z);

1.19. (x(z &y))(x y);

1.20. (xyz)  x;

1.21. x((x z)y);

1.22. (y(xz))xz;

1.23. (zy)(x y);

1.24. (x y)(z &x).

2. Определить СДНФ, СКНФ, СПНФ для функции, заданной вектором:

2.1.  _f= ( 1001 0110 1011 0011);

2.2.  _f =(0001 0101 0110 1001);

2.3.  _f =(1000 1101 0101 0110);

2.4.  _f =(0010 0111 1100 0111);

2.5.  _f =(1100 1001 0011 0110);

2.6.  _f =(0001 1000 0101 1011);

2.7.  _f =(1100 1001 1011 1110);

2.8.  _f =(0101 0010 1011 0110);

2.9.  _f =(0111 0100 1011 0010);

2.10.  _f =(1100 0101 1011 0011);

2.11.  _f =(0100 1111 1011 1010);

2.12.  _f =(0001 0110 1001 1110);

2.13.  _f =(1100 0111 1011 0001);

2.14.  _f =(0110 0110 0001 0111);

2.15.  _f =(0000 1000 0110 1111);

2.16.  _f =(1111 0100 1101 0001);

2.17.  _f =(0000 0111 1101 0001);

2.18.  _f =(0101 0010 1001 1101);

2.19.  _f =(1011 1100 0000 0100);

2.20.  _f =(0010 1001 0100 1000);

3. Реализовать формулы системы D формулами над множеством связок S

3.1. D = { &, }, S = { , };

3.2. D = {&,,}, S = {};

3.3. D = {&,,}, S = {};

3.4. D = {&,}, S = {, 1, &};

3.5. D= {,,}, S = {};

3.6. D = {,,}, S = { };

3.7. D = {1,,}, S = {x,};

3.8. D= {,,}, S = {x,};

3.9. D = {x,1}, S = {,};

3.10.D = {x,}, S = {1,,};

3.11.D= {}, S = {};

3.12.D = {x,,}, S = {};

3.13.D = {x,,} , S = {};

3.14.D = {}, S = {};

3.15.D = {}, S = {,}.

4. Определить все функции, являющиеся суперпозициями функций из D:

4.1. D = {,1};

4.2. D ={xy(xy)}.

5. Доказать, что функция штрих Шеффера коммутативна, но не ассоциативна.