82)Формула Тейлора Формула Тейлора

, где R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора.

83) Остаточный член формулы Тейлора

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

84) Разложение элементарных функций по формуле Тейлора

85 Приложение формулы Тейлора для приближенных вычислений и вычислений пределов

 

86Выпуклость функции и точки перегиба

Непрерывная на отрезке [ a ;  b ] функция f  ( x ) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x ₁ и x ₂ из этого отрезка 

 График 3.2.3.1. Другими словами, если для любых точек x ₁ и x ₂ отрезка [ a ;  b ] секущая AB проходит под графиком функции f  ( x ), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [ a ;  b ] функция f  ( x ) выпукла вверх, если для любого   

Дважды дифференцируемая на [ a ;  b ] функция f  ( x ) выпукла вниз, если для любого   

Так, вторая производная функции   равна   откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Пусть функция f  ( x ) непрерывна в точке   и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка   называется точкой перегиба функции f , если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если   – точка перегиба функции f  ( x ), и функция f  ( x ) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то 

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f  ( x ) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке    Если   меняет знак при переходе через точку    то   – точка перегиба функции f  ( x ).

Если       то   – точка перегиба функции f  ( x ).

 

В заключение приведем примеры, когда точка x ₀ не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:

• если функция разрывна в точке   (например        );

• в случае угловой точки (например,      

Не являются точками перегиба и точки возврата , например точка   у функции 

 

87Асимптоты графика функции

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции, при этом он должен бесконечно далеко удаляться от начала координат.

Примечание: определение содержательно, если вам необходима формулировка в терминах и обозначениях математического анализа, пожалуйста, обратитесь к учебнику.

На плоскости асимптоты классифицируют по их естественному расположению:

1) Вертикальные асимптоты, которые задаются уравнением вида  , где «альфа» – действительное число. Популярная представительница   определяет саму ось ординат,  с приступом лёгкой тошноты вспоминаем гиперболу  .  

2) Наклонные асимптоты традиционно записываются уравнением прямой с угловым коэффициентом  . Иногда отдельной группой выделяют частный случай –горизонтальные асимптоты  . Например, та же гипербола с асимптотой  .

Резво пошло-поехало, ударим по теме короткой автоматной очередью:

Сколько асимптот может быть у графика функции?

Ни одной, одна, две, три,… или бесконечно много. За примерами далеко ходить не будем, вспомним элементарные функции. Парабола, кубическая парабола, синусоида вовсе не имеют асимптот. График экспоненциальной, логарифмической функции обладает единственной асимптотой. У арктангенса, арккотангенса их две, а у тангенса, котангенса – бесконечно много. Не редкость, когда график укомплектован и горизонтальными и вертикальными асимптотами. Гипербола, willalwaysloveyou.