3.2. Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить для атома водорода радиус первой боровской орбиты и скорости электрона на ней.

Решение. Радиус n–й боровской орбиты r_n и скорость _n электрона на ней связаны между собой уравнением первого постулата Бора:

m_nr_n = ћn. (3.1)

Чтобы иметь еще одно уравнение, связывающие величины _n и r_n, запишем второй закон Ньютона для электрона, движущегося под действием кулоновской силы притяжения ядра по круговой орбите. Учитывая, что ядром атома водорода является протон, заряд которого равен по модулю заряду электрона, запишем:

, (3.2)

где m – масса электрона, – нормальное ускорение. Решив совместно (3.1) и (3.2) получим:

, .

Положив здесь n = 1, произведем вычисления:

; .

Пример 2. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона и его длину волны.

Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

, (3.3)

где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n₁ – номер орбиты, на которую перешел электрон; n₂ – номер орбиты, с которой перешел электрон (n₁ и n₂ – главные квантовые числа).

Энергия фотона Е выражается формулой

. (3.4)

Поэтому, умножив обе части равенства (13.3) на hc, получим выражение для энергии фотона:

.

Т.к. Rhc есть энергия ионизации E_i атома водорода, то

.

Из равенства (3.4) выразим длину волны фотона

Вычисления выполним во внесистемных единицах: E_i = 13,6 эВ; Z = 1; n₁ = 2; n₂ = 4:

эВ = 2,55 эВ.

м.

Пример 3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U₁ = 51 В; 2) U₂ = 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

, (3.5)

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

, (3.6)

где m₀ – масса покоя частицы.

В релятивистском случае

, (3.7)

где E₀ = m₀с² – энергия покоя частицы.

Формула (3.5) с учетом соотношений (3.6) и (3.7) запишется:

• в нерелятивистском случае

, (3.8)

• в релятивистском случае

. (3.9)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедше­го заданные в условии задачи разности потенциалов U₁ = 51 В и U₂ = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (3.8) или (3.9) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

T = eU.

В первом случае T₁ = еU₁ = 51 эВ = 0,51 10^-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е₀ = m₀с² = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (3.8). Для упрощения расчетов заметим, что T₁ = 10^-4m₀c². Подставив это выражение в формулу (3.8), перепишем ее в виде

.

Учитывая, что есть комптоновская длина волны λ, получаем

.

Т.к. λ = 2,43пм, то

= 171 пм.

Во втором случае кинетическая энергия T₂ = eU₂ = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (3.9). Учитывая, что Т₂ = 0,51МэВ = m₀с², по формуле (3.9) находим

,

или

.

Подставим значение λ и произведем вычисления:

= 1,40 пм.

Пример 4. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить мини­мальные линейные размеры атома.

Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

, (3.10)

где х – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); р_х – неопределенность импульса частицы (электрона); – постоянная Планка.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

.

Соотношение неопределенностей (3.10) можно записать в этом случае в виде

,

откуда

. (3.11)

Физически разумная неопределенность импульса р_х во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р_х, т.е. р_х р_х. Импульс р_х связан с кинети­ческой энергией Т соотношением

. Заменим р_х значением (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим

. (3.12)

Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3.12) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

.

Найденная единица является единицей длины.

Произведем вычисления:

= 1,24 10^-10 м = 124 нм.

П

ример 5. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l, рис.3.1. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале l = 0,01l в двух случаях:

1) (вблизи стенки) (0xl);

2) в средней части ящика ( ).

Решение.

Вероятность того, что

частица будет обнаружена в интервале dx (от х до х+dх), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна

dw = |ψ(x)|²dx .

В первом случае искомая вероятность найдется интег­рированием в пределах от 0 до 0,01l:

. (3.13)

Знак модуля опущен, т.к. ψ – функция в данном случае не является комплексной.

Т.к. х изменяется в интервале 0  x  0,01 l и, следовательно, , справедливо приближенное равенство

.

С учетом этого выражения (3.13) примет вид

.

После интегрирования получим

.

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, т.к. квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (l = 0,01l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением

w = |ψ(l/2)|²l,

или

.

П

Рис. 3.2.

0

l

x

U(x)

ример 6. Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l = 10 cм, рис.3.2. Вычислить наименьшую разность двух соседних энергетических уровней электрона.

Решение. Воспользуемся свойствами волновой функции. Т.к. внутри потенциального ящика (при 0  x  l) потенциальная энергия электрона U = 0, то его полная энергия есть кинетическая энергия T. Согласно закону сохранения энергии, при движении электрона T = const. Следовательно, и сохраняется импульс электрона . Учитывая два возможных направления электрона вдоль оси х, запишем проекции импульса на ось х: р_х1 = р; р_х2 = -р. Согласно соотношению де Бройля, двум, отличающимся лишь знаком проекциям р_х импульса соответствуют две плоские монохроматические волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях вдоль оси х. В результате интерференции возникнут стоячие волны де Бройля, характеризующиеся стационарным, т.е. не зависящим от времени, распределением вдоль оси х амплитуды колебаний. Эта амплитуда есть волновая функция ψ(x), квадрат которой определяет плотность вероятности пребывания электрона в точке с координатой х.

Т.к. потенциальный ящик бесконечно глубок (U = ∞ при x>0 и x>l ), электрон не может оказаться за его пределами. Поэтому ψ(x) = 0 при x>0 и x>l. Отсюда в силу свойства непрерывности волновой функции следует ψ(0) = 0, ψ(l) = 0,

Таким образом, амплитуда колебаний в стоячей волне де Бройля равна нулю в точках x = 0, x = l, т.е. здесь находятся узлы стоячей волны. Поскольку расстояние между соседними узлами равно половине длины волны, то в потенциальном ящике могут лишь быть волны де Бройля, длина которых удовлетворяет условию

l = nλ_n/2 (n = 1, 2, 3,…),

т.е. на ширине ящика должно укладываться число полуволн. Отсюда

λ_n = 2l/n. (3.14)

Из соотношения (3.14) делаем вывод, что в потенциальном ящике существуют уровни энергии частицы. Действительно полная энергия электрона в ящике равна

Подставив сюда значение λ из (3.14), получим

(n = 1, 2, 3,…). (3.15)

Т.к. отношение уровней энергии W₁:W₂ :W₃… = 1:4:9…, то наименьшая разность уровней

. (3.16)

Проверим, дает ли полученная формула единицу энергии. Для этого в правую часть формулы (3.16) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

.

Произведем вычисления:

.

Пример 7. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра m и есть разность между суммой масс свободных нукло­нов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

m = Zm_p+(A-Z)m_n-m_я (3.17)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро) ; m_p, m_n, m_я – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса m_я нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: m_а = m_я+Zm_e, откуда

m_я = m_а—Zm_e. (3.18)

Выразив в равенстве (3.17) массу ядра по формуле (3.18), получаем

m = Zm_p+(A—Z)m_n—m_a + Zm_e, или m = Z(m_p+m_e)+(A—Z)m_n—m_a.

Замечая, что m_р+m_е = m_H, где m_H – масса атома водорода, окончательно находим

m = Zm_H+(A—Z)m_n—m_a. (3.19)

Подставив в выражение (3.19) числовые значения масс, получим

m = [3^.1, 00783 + (7—3)^.1,00867—7^.0,1601] = 0,04216 а.е.м.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

E = c²m, (3.20)

где с – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности с² может быть вы­ражен двояко:

с² = 9^.10¹⁶м²/с², или с² = E/m = 9^.10¹⁶Дж/кг.

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистем­ными единицами, то с² = 931МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (3.20) примет вид

E = 931m (МэВ). (3.21)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

E = 931^.0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

Примечание. Термин «дефект массы» часто применяют в другом смысле: дефектом массы  называют разность между массой нейт­рального атома данного изотопа и его массовым числом А:  = m_а—А. Эта величина особого физического смысла не имеет, но ее использование позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления. В настоящем учебном пособии всюду имеется в виду дефект массы m, определяемый формулой (3.17).

Пример 8. При соударении -частицы с ядром бора B произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода Н. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Решение. Обозначим неизвестное ядро символом Х. Т.к. -частица представляет собой ядро гелия Не, запись реакции имеет вид

Не+ B Н+ Х.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4+10 = 1+А. откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2+5 = 1+Z, откуда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода C.

Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:

Не+ B Н+ C.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле

Q = 931[(m_He+m_B)-(m_H+m_C)].

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтраль­ных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подста­вив массы атомов в расчетную формулу, получим

Q = 931(4,00260+ 10,01294)—(1,00783 + 13,00335) МэВ = 4,06 МэВ.

Пример 9. Определить начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния ²⁷Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6ч. Период полураспада Т_½ магния считать известным.

Решение. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отно­шением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:

A = -dN/dt. (3.22)

Знак «-» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает. Для того чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада:

N = N₀e^-t,

где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; N₀ – число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t = 0);  – постоянная радиоактивного распада.

Продифференцируем выражение (3.22) по времени:

dN/dt = -N₀e^-t. (3.23)

Исключив из формул (3.22) и (3.23) dN/dt, находим актив­ность препарата в момент времени t:

А = N₀e^-t. (3.24)

Начальную активность A₀ препарата получим при t = 0:

A₀ = N₀. (3.25)

Постоянная радиоактивного распада  связана с пе­риодом полураспада Т_½ соотношением

. (3.26)

Число N₀ радиоактивных ядер, содержащихся в изо­топе, равно произведению постоянной Авогадро N_A на количество вещества  данного изотопа:

, (3.27)

где m – масса изотопа; М – молярная масса.

С учетом выражений (3.26) и (3.27) формулы (3.25) и (3.24) принимают вид

; (3.28)

. (3.29)

Произведем вычисления, учитывая, что T_½ = 10 мин = 600 с, ln2 = 0,639, t = 6 ч = 6^.3,6^.10³ с = 2,16^.10⁴ с:

= 5,13^.10¹² Бк = 5,13 ТБк;

= 81,3 Бк.