1Ая и 2ая экваториальная сис-ма координат.

Первая экваториальная система координат. Основным направлением в этой системе является ось мира PnPs, а основными кругами — экватор и меридиан наблюдателя. Положение точки на сфере определяется двумя координатами: склонением и часовым углом (рис. 5).

Склонением δ светила называется дуга меридиана светила от небесного экватора до места светила. Угол δ при центре сферы, равный этой дуге, также называют склонением (его измеряют в обсерваториях). Склонения счи­таются от 0 до 90° к N или S, например на рис. 5 для светил С₁ и С₂ имеем 6₁ = 33° N, б₂ = 26° S.

Примечание. В мореходной астрономии принято склонению придавать знак «-+-», если оно одноименно с широтой, и знак «—», если разноименно. В обсерваторной и геодезической астрономии, а также в электронных цифровых вычислительных маши­нах (ЭЦВМ) знак «+» придается северному склонению (и широте), знак «—» — южно­му.

Часовым углом t называется дуга экватора от полуденной части меридиа­на наблюдателя до меридиана светила, считаемая в сторону точки W от О до 360°. В таком счете часовой угол называют вестовым или обыкновенным и наименования обычно не приписывают. Кроме этого, применяется полу кру­говой счет часовых углов: от 0 до 180° к W или O^st-y, который называют иногда практическим, так как он применяется при решении треугольников и в таблицах. Из рис. 5 видно, что t_Qst = 360° — t_w при tw > 180°. Для све­тила С₁ имеем t = 245° W или t — 115° О¹. Дуга экватора ED измеряет центральный угол t или сферический угол при полюсе t, которые также на­зывают часовыми углами.

Место светила С₁ на сфере запишется теперь так: t = 245°; δ = 33° N. Одна экваториальная координата определяет на сфере положение одного круга: часовой угол — положение меридиана светила; склонение — парал­лели.

Полярные координаты. Положение точки можно определить при полю­се мира — в полярных координатах t и Д. Часовой угол / определяется как угол при повышенном полюсе в полукруговом счете (на рис. 5 t = 115° O^st).

Полярным расстоянием ∆ называется дуга меридиана светила от повы­шенного полюса до места светила, считаемая от 0 до 180°, например для светила С₁ ∆ = 57°, С₂ ∆ = 116°. Очевидно, что ∆ = 90° — б. По определе­нию часовой угол отсчитывается от плоскости географического меридиана места, поэтому на рис. 5 и аналогичных всегда изображается местный часо­вой угол. Для других меридианов часовые углы другие.

Вторая экваториальная система координат. В этой системе при той же оси мира основными кругами являются небесный экватор и меридиан точки Овна (γ). Точка Овна, или точка весеннего равноденствия, расположена в пересечении экватора с эклиптикой, т. е. связана с орбитой Земли. Поло­жение светила в этой системе определяется склонением и прямым восхож­дением (рис. 6). Склонение б в этой системе аналогично первой экваториаль­ной системе.

Прямым восхождением а светила называется дуга экватора от точки Овна до меридиана светила, считаемая в сторону, обратную W-м часовым углам (т. е. в сторону O^st) от 0 до 360°. Дуге а соответствуют при центре сферы и при полюсе углы а, также называемые прямым восхождением. На­пример, для светила С₁ а =95°; б = 35° N. Вместо α в современных морских пособиях применяется звездное дополнение: т = 360° — а.

Звездным дополнением τ называют дугу экватора от точки Овна до ме­ридиана светила, но считаемую в сторону W-x часовых углов, например для светила С₁ имеем τ = 265°. В отечественных пособиях τ применяется только для звезд, отсюда и его название. Направление счета а — прямого восхож­дения — совпадает с вращением Земли и ее обращением по орбите, отсюда и название координаты.

Полярные координаты. В этом случае прямое восхождение (или τ) счи­тается как угол при полюсе между меридианами точки Овна и светила, а по­лярное расстояние ∆ аналогично первой системе координат (см. рис. 6). Эта система координат аналогична географическим: а — с λ; б — с φ.

Первая и вторая экваториальные системы отличаются только положе­нием начального меридиана t считается от точки Е, а α— от точки Овна t^r, положение же точки Овна определяется ее часовым углом t^γw, поэтому (рис. 6) имеем t^γ = t + α, (2)

т. е. часовой угол точки Овна (звездное время) равен сумме часового угла и прямого восхождения светила. По этой формуле (в § 23 она названа основ­ной формулой времени) можно перейти от одной системы к другой.

№3 Параллактический треугольник.

Построив сферу для наблюдателя в данной широте и проведя меридиан и вертикал светила С, получим сфери­ческий треугольник PzC, в который входят координаты основных систем и географические координаты места (рис. 11).

Параллактическим треугольником светила называется сферический треугольник PzC, имеющий вершины в повышенном полюсе, зените и месте светила и связывающий между собой основные системы сферических коор­динат. Напомним, что в северной широте повышенный полюс —Р_N, в южной— P_S. Элементами этого треугольника, т. е. его сторонами и углами, являются: сторона zP — дуга меридиана наблюдателя, равная 90° —φ; сторона PC —-дуга меридиана светила, равная 90° — δ; сторона zC — дуга вертикала све­тила, равная 90°— h; угол при зените, равный азимуту светила в полукру­говом счете; угол при повышенном полюсе, равный часовому углу в практи­ческом (полукруговом) счете; угол при светиле q — параллактический угол, также в полукруговом счете. Как видим, в треугольник входят полярные ко­ординаты, поэтому его иногда называют полярным треугольником светила.

Формулы, связывающие три данных элемента и один искомый элемент сферического треугольника, называются основными (см. приложение 2). В них углы и стороны должны быть меньше 180°*. В параллактическом тре­угольнике это достигается использованием полукругового счета t, А и q, стороны же всегда меньше 180°. Следовательно, параллактический треуголь­ник можно решать по основным формулам сферической тригонометрии.

Особое значение параллактического треугольника, отличающее его от других, заключается в том, что он связывает сферические координаты свети­ла с географическими координатами места наблюдателя. Широта входит в сторону zP, а долгота — в угол t; это всегда местный часовой угол t_м, а по формуле (3) tм = t_гр — λw Поэтому, ре­шая параллактический треугольник, по известным координатам светил можно определить координаты места.

Решение параллактического тре­угольника по основным формулам. Для решения или для построения треуголь­ника РгС должны быть известны три его элемента. Тогда по основным фор­мулам можно определить остальные его элементы в общем виде, а затем с по­мощью таблиц функций вычислить эти элементы с нужной точностью.

Треугольник может быть косоуголь­ным при произвольном значении его эле­ментов, прямоугольным, если один или несколько его углов прямые, или четвертным при стороне, равной 90°. Во всех случаях будут справедливы основные формулы, хотя есть и частные формулы и правила для каждого случая. Рекомендуется применять четыре основные формулы сферической тригонометрии, которые следует знать наизусть (см. приложение 2); нужно выучить также формулу пяти элементов,ПРИМЕН В ВЫВОДАХ.

Общий порядок решения параллактического треугольника следующий:

сделать чертеж треугольника, пометить данные и искомые величины;

подобрать формулы для получения искомых величин, как правило, че­рез данные и привести их к простейшему виду;

исследовать формулы на знаки функций (по тригонометрическим чет­вертям) при данных значениях аргументов; составить простейшие схемы вычислений;

произвести вычисления по таблицам логарифмов или натуральных зна­чений тригонометрических функций;

приписать искомым наименования; произвести контроль вычислений.

Переход от экваториальных координат к горизонтным. Положим, что в треугольнике zPC (см. рис. 11) заданы φ, б и t, требуется определить высоту и азимут. Отметим в параллактическом треугольнике заданные эле­менты крестиком (X), а искомые — знаком вопроса (?).

Для получения h применим формулу, связывающую три стороны и угол треугольника, т. е. формулу косинуса стороны (см. приложение 2) к сторо­не zC:

cos (90° — h) == cos (90° —φ) cos (90⁹ — δ) + sin (90^Q —φ)sin (90^Q —6) cos t. После упрощений получим

sin h = sin φ sin б - cos φ cos δ cos t.

Для получения азимута через заданные величины φ, S, t применим фор­мулу для четырех рядом лежащих элементов,

т. е. формулу котангенсов (см. приложение 2), к углу А:

ctg A sin t = ctg (90° — 6)sin (90° — φ) — cos t cos (90^Q — φ), или после упрощений и отделения неизвестного получим

ctg A = tg б cos φ cosec t — sin φ ctg t.

Исследование формул на знаки. Исследование производится определе­нием знака тригонометрической функции при данной величине и знаке коор­динаты с последующим перемножением знаков. Исследование выполняется, чтобы определить: будет ли в правой части двучленной формулы сумма чле­нов (т. е. +1 + II; —I — II) или их разность (например, —I + II); знак искомой функции, а по нему тригонометрическую четверть или знак иско­мой координаты.

Правила исследования формул на знаки:

1. Широта всегда меньше 90° и считается положительной независимо от наименования (N или S), поэтому все ее функции имеют знак «+»

2. Склонение всегда меньше 90°, но может иметь знак «+», если оно одноименно с φ, и знак «—», если разноименно с φ (знак «—» означает четвертую тригонометрическую четверть). Если б одноименно с φ, все функ­ции б имеют знак «+»; если же б разноименно с φ, то cos б и sec б имеют знак «+». остальные функции — знак «—».

3. Высота всегда меньше 90°, но может иметь знак «+» или «—». Если знак высоты «+», то все ее функции положительны, если же знак «—», то cos h и sec h имеют знак «+»; остальные функции — «—».

4. Часовой угол вводится в треугольник всегда меньшим 180° (O^st или W). Если t<Z 90°, т. е. в первой тригонометрической четверти, то все его функции имеют знак «+». Если же t > 90°, т. е. во второй четверти, то sin t и cosec t имеют знак «+», остальные функции— «—».

5. Азимут в треугольнике всегда в полукруговом счете, т. е. А может быть в первой и второй четвертях. Поэтому независимо от его наименования, если А < 90°, все его функции имеют знак «+»; если же А > 90°, то sin A и cosec А имеют знак «+», остальные функции — «—».

6. Параллактический угол имеет величину от 0 до 180°, и знаки его функций определяются аналогично А и t.

Эти же правила применяются и при определении знака или величины искомой координаты.

Треугольники со сторонами, меньшими 180°, называются эйлеровыми. Возмож­ны сферические треугольники с элементами от 0 до 360° (Мебиуса). В них при тех же формулах правила счета и знаков другие

№4 ЗВЁЗДНОЕ И СОЛНЕЧНОЕ ВРЕМЯ.

Примем, что поворот сферы отсчитывается по точке Овна. При этом полу­чим звездные единицы и системы счета времени.

Звездными сутками называется промежуток времени между двумя по­следовательными одноименными кульминациями точки Овна на одном и том-же меридиане. За начало звездных суток принимается момент верхней куль­минации точки Овна. Звездные сутки делятся (в звездных единицах) на 24 ч, час —на 60 мин и минута — на 60 с.

Звездным временем S называется промежуток времени (в звездных еди­ницах ), протекший от момента верхней кульминации точки Овна до дан­ного момента. Изобразим сферу на плоскости экватора (рис. 43): внутри изо­бражена Земля и связанные с ней меридиан EQ и зенит места г. При вращении сферы Земля и меридиан EQ остаются неподвижными. По определению звезд­ного времени оно равно времени поворота точки Овна от Е до γ. т. е. дуге Ev, но эта дуга измеряет часовой угол точки Овна t^v, следовательно, звезд­ное время численно равно .часовому углу точки Овна, т. е. S = t^γ. На этом основании звездное время можно выражать в часовых или градусных единицах, например S = 8^Ч44^М16^С или t^v = 131^о04.0'; обычно его выражают в градусных единицах. Звездное время даты не имеет, так как промежутки времени больше суток в нем не выражают. Звездное время на данном мери­диане воспроизводится на звездном хронометре. Это время удобно при на­блюдениях звезд и обработке звездных наблюдений.

Точка Овна перемещается по сфере вследствие прецессии и нутации. Если учесть прецессию точки Овна — на 46,1" в год навстречу суточному движению, то оказывается, что звездные сутки короче полного оборота сферы на 0,0084^е Это равномерное среднее звездное время и применяется в мореходной астрономии. Если учесть еще нутацию, получается неравномерное (истинное)

звездное время.

Основная формула времени. Пусть P_ND (см. рис. 43) — меридиан свети­ла С, тогда γD — его прямое восхождение a, a ˇED — часовой угол t. Из рис. 43 видно, что сумма дуг ED и γD равна дуге Ev, т. е. t^v == S, или S = t + a. (69)

Звездное время в данный момент равно сумме вестового часового угла -светила и его прямого восхождения. Эта формула справедлива для любого светила (на один момент), т. е.

S = t + α* = t_סּ + α _סּ = t — α = ....

Для момента верхней кульминации t= 0 и S = α. Отсюда, зная α*, можно определить звездное время или поправку часов, и наоборот — по S определить а*.

Формула часового угла. Решая формулу (69) относительно t, получим t = S — а. (70) Добавив к обеим частям по 360° (24^Ч), получим t + 360° = S + 360^o — а.

Но величина 360° — а_* есть звездное дополнение τ*, а от часового угла период 360° отбрасывается, поэтому для звезд имеем: t* = S - τ* (71)

По этой формуле рассчитываются часовые углы звезд; применяется она также в машинных алгоритмах для часовых углов светил (см. § 31).

Звездное время неудобно для повседневной жизни, так как начало звезд­ных суток приходится на разное время суток солнечных. Так, 21/111 Солн­це (положение 1 на рис. 44, показывающее Солнце в момент кульминации γ) расположено в точке у, при этом звездные сутки начнутся в полдень. Через сутки Солнце переместится по эклиптике примерно на 1° = 4^м и будет куль­минировать через 4^м после точки Овна. Через три месяца — 22/VI Солнце

переместится в положение 3 — кульминация точки Овна произойдет утром, Через полгода 4 звездные сутки начнутся в полночь, еще через три месяца — 22/XII — вечером и через тропический год — снова в полдень. И рис. 44, кроме того, вытекает, что тропический год, равный 365, 2422 средних суток, содержит звездных суток больше ровно на 1, т. е. 366, 2422 звездных суток.

Для повседневной жизни время удобнее считать по Солнцу.

Истинными солнечными сутками называется промежуток времени между двумя последовательными одноименными кульминациями Солнца на одном и том же меридиане. За начало солнечных суток обычно принимается нижняя кульминация Солнца, поэтому истинным солнечным временем (Т_&) называет­ся промежуток времени, протекший от нижней кульминации Солнца до дан­ного момента.

Однако величина истинных суток в течение года изменяется. Из рис. 44 видно, что солнечные сутки продолжительнее звездных на Да₀. При изучении координат Солнца в § 14 отмечалось, что вследствие неравномерности движе­ния Солнца и наклона эклиптики е величина Аа₀ меняется в течение года не­равномерно: около 22/ХП имеем наибольшее Да© = 66,6' в сутки, а около 18/IX — наименьшее Дсс₀ = 53,8' в сутки. Поэтому зимой сутки длиннее, а летом — осенью короче. Разность в продолжительности солнечных суток в эти даты составит 12,8'-4 =51,2°. В среднем Да₀ = 59,14'. Переменность длительности истинных суток делает их неудобными в качестве единицы из­мерения, и истинное солнечное время применяется теперь только как часо­вой угол Солнца

№5. Местное, гринвичское, поясное время.