1.1.2. Примеры решения задач

Пример 1. Материальная точка брошена с начальной скоростью м/с под углом α = 60 ° к горизонту. Найти скорость точки и радиус кривизны траектории в момент времени t₁ = 2 c.

Решение. Уравнения движения точки:

Рис. 1.1

Рис. 1.1

, , , , (1.1)

г

де проекции начальной скорости на оси координат:

, .

Определим проекции скорости (1.1) точки в момент времени t₁=2 c:

,

.

Величина скорости 16,3 м/с.

Нормальное ускорение точки . Тогда радиус кривизны траектории . Определим . Из рис. 1.1 следует

,

где  – угол между полным ускорением и нормальным ускорением. По условию – ускорение свободного падения. Также из рисунка получаем, что . Следовательно, радиус кривизны траектории . Вычислим .

Ответ: = 16,3 м/с, R = 29,46 м.

Пример 2. Материальная точка движется в соответствии с уравнениями:

x=A+Bt+Ct³, y=Kt+Lt², (1.2)

где А = 3 м, В = 1 м/с, С = -1 м/с³, K = 1,5 м/с, L = 2 м/с².

Найти координаты, скорость и ускорение точки в момент времени t=1 c.

Решение. Координаты точки найдем, подставив в уравнения движения (1.2) числовые значения коэффициентов А, В, С, K, L и времени t:

, .

Проекции мгновенной скорости точки на оси х, y есть первые производные от координат (1.2) по времени:

, . (1.3)

При t = 1 c ; . Величина скорости м/с.

Проекции ускорения точки найдем, взяв первые производные от проекций скорости (1.3) по времени:

, . (1.4)

Величина ускорения точки .

При t = 1 c м/с², м/с², м/с².

Пример 3. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

=A+Bt+Ct², (1.5)

где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = -2 рад/с². Найти скорость и ускорение точки, находя­щейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с. Показать векторы скорости и ускорения на рисунке.

Решение. Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле , где  – модуль угловой скорости тела. Угловую скорость  найдем, взяв первую производ­ную от угла поворота (1.5) по времени:

. (1.6)

В момент времени t = 4 c модуль угловой скорости

рад/с.

Скорость точки м/с.

Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис. 1.2):

.

Так как векторы взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения . (1.7)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

, , (1.8)

где  – модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения а_ и а_n в формулу (1.7), находим

. (1.9)

Угловое ускорение найдем, взяв первую производ­ную от угловой скорости (1.6) по времени:

рад/с².

Подставляя значения ,  и r в формулу (1.9), получаем

Рис. 1.2

м/с².

Вектор касательного ускорения направлен против скорости, т.к. угловое ускорение .

Пример 4. Ящик массой m₁ = 20 кг соскальзывает по лотку длиной l = 2 м с коэффициентом трения f=0,1 на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂ = 80 кг может свободно (без трения) переме­щаться по рельсам в горизонтальном направлении. Опре­делить скорость u тележки с ящиком, если лоток накло­нен под углом  = 30 ° к рельсам.

Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внешние силы: силы тяжести G₁ = m₁g и G₂ = m₂g и сила реакции N₂ (рис. 1.3). Поэтому применить закон сохранения импульса в общем к системе “ящик – тележка” нельзя. Однако, так как проекции указанных сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоянной, т.е.

Рис. 1.3

, (1.10)

где p_1x и p_2x – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p’_1x и p’_2x – те же величины после падения ящика.

Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1.10) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р_2x=0 (тележка до взаимодей­ствия с ящиком покоилась), а также что после взаимо­действия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью и:

, или , (1.11)

где v₁ – модуль скорости ящика перед падением на тележку; – проекция этой скорости на ось х.

Из (1.11) следует . (1.12)

Модуль скорости v₁ определим из закона сохранения энергии при движении ящика по лотку с учетом силы трения F_тр:

,

где , , ,

. (1.13)

Подставив выражение v₁ в формулу (1.12), получим

.

Вычисляем скорость тележки:

м/с.

Пример 5. Паром массой m₁ и длиной l стоит на неподвижной воде. На его корме находится контейнер массой m₂. Затем контейнер был перемещен на носовую часть парома с помощью собственного крана. На какое расстояние s переместится паром относительно дна? Силами трения и сопротивления пре­небречь.

Рис. 1.4

Решение. Система паром-контейнер относительно горизонтального направления может рассматриваться как замкнутая. Из закона сохранения импульса следует, что внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Следовательно, при перемещении контейнера центр масс системы т. С не изменит своего положения относительно дна. Координата центра масс x_c системы определяется выражением , где m – масса системы; m_i – массы тел.

Выберем начало системы координат так, чтобы ось Oy проходила в начальный момент через точку C₁ – центр масс парома. Обозначим координаты x₁ центра масс парома т. C₁ и x₂ – центра масс контейнера т. C₂ – до перемещения (рис. 1.4), x’₁, x’₂ – после перемещения.

Положение центра масс системы не изменилось, следовательно

. (1.14)