39. Статистическая обработка результатов прямых равнорассеянных измерений. Проверка нормальности распределения результатов наблюдений и случайных погрешностей. Критерий Пирсона (χ2)

При статистической обработке группы результатов наблюдений следует выполнить следующие операции:

исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения;

вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения;

вычислить границы неисключенной систематической погрешности (неисключенных остатков систематической погрешности) результата измерения;

вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

1.2. Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости q от 10 до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений.

1.3. Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность P принимают равной 0,95.

В тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности P = 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности P = 0,99.

В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается вместо P = 0,99 принимать более высокую доверительную вероятность

Эта задача представляет собой частный случай более общей проблемы, заключающейся в подборе теоретической функции распределения, в некотором смысле наилучшим образом согласующейся с опытными данными.

При большом числе результатов наблюдений (n>40) данная задача решается в следующем порядке.

Весь диапазон полученных результатов наблюдений X_max…X_min разделяют на r интервалов шириной ΔX_i (i=1,2,…r) и подсчитывают частоты m_i, равные числу результатов, лежащих в каждом i-м интервале, т. е. меньших или равных его правой и больших левой границы.

Отношения

 

где n — общее число наблюдений, называются частостями и представляют собой статистические оценки вероятностей попадания результата наблюдений в i-й интервал. Распределение частот по интервалам образует статистическое распределение результатов наблюдений.

Если теперь разделить частость на длину интервала, то получим величины

    (51)

являющиеся оценками средней плотности распределения в интервале ΔX_i.

Отложим вдоль оси результатов наблюдений (рис. 11) интервалы ΔX_i в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале построим прямоугольник с высотой, равной p_i^*. Полученный график называется гистограммой статистического распределения.

Площадь суммы всех прямоугольников равна единице:

 

При увеличении числа наблюдений число интервалов можно увеличить. Сами интервалы уменьшаются, и гистограмма все больше приближается к плавной кривой, ограничивающей единичную площадь, — к графику плотности распределения результатов наблюдений.

Критерий согласия Пирсона^[1] , или критерий согласия   (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о принадлежности наблюдаемой выборки   объёмом   некоторому теоретическому закону распределения  .

Статистика критерия

Процедура проверки гипотез с использованием критериев типа   предусматривает группирование наблюдений. Область определения случайной величины разбивают на  непересекающихся интервалов граничными точками

 ,

где   – нижняя грань области определения случайной величины;   – верхняя грань.

В соответствии с заданным разбиением подсчитывают число   выборочных значений, попавших в   -й интервал, и вероятности попадания в интервал

 ,

соответствующие теоретическому закону с функцией распределения  .

При этом

 и   .

При проверке простой гипотезы известны как вид закона  , так и все его параметры (известен скалярный или векторный параметр  ).

В основе статистик, используемых в критериях согласия типа  , лежит измерение отклонений   от  .

Статистика критерия согласия   Пирсона определяется соотношением

.

В случае проверки простой гипотезы в пределе при   эта статистика подчиняется   -распределению с   степенями свободы, если верна проверяемая гипотеза  . Плотность   -распределения, которое является частным случаем гамма-распределения, описывается формулой

.

Проверяемая гипотеза   отклоняется при больших значениях статистики, когда вычисленное по выборке значение статистики   больше критического значения  или достигнутый уровень значимости (p-value)

больше заданного уровня значимости (заданной вероятности ошибки 1-го рода)