Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности (или сплошности) газового потока основывается на законе сохранения массы.

Рассмотрим движение газа по каналу переменного сечения. При стационарном течении через произвольное поперечное сечение будет протекать в единицу времени одна и та же масса газа.

или mv = Fw,

где v – удельный объём , F – площадь поперечного сечения, w – скорость газового потока.

Представленные уравнения устанавливают связь между площадью поперечного сечения и скоростью движения газа. Они используются для определения проходных сечений каналов.

Для несжимающихся жидкостей (=const) уравнение принимает вид

wF = const,

т.е. при уменьшении площади поперечного сечения возрастает скорость потока, и наоборот.

Для сжимаемого потока скорость потока при данном массовом расходе m будет зависеть не только от площади поперечного сечения F, но и от удельного объёма v (плотности ). Логарифмируя и дифференцируя уравнение неразрывности при постоянной массе получаем уравнение вида:

,

где а – местная скорость звука в данном сечении и

Для идеального газа скорость звука находится исходя из уравнения

,

где k – показатель адиабаты;

R – газовая постоянная;

Т – абсолютная температура.

Отношение скорости звука к скорости потока в данном сечении обозначается как М и называется числом Маха (по имени австрийского физика Э. Маха)

Исходя из этого можно записать:

(__)

В зависимости от скорости течения газа различают дозвуковую и сверхзвуковую скорости. Скорость, при которой в рассматриваемом сечении скорость потока w меньше скорости звука a (M<1) называется дозвуковой. Скорость, при которой в рассматриваемом сечении скорость потока w больше скорости звука a (M>1) называется сверхзвуковой.

Движение газа по каналам переменного сечения.

Каналы, по которым течёт газ, называется соплами и диффузорами.

Канал, в котором происходит расширение газа с увеличением скорости и уменьшением давления, называется соплом.

Канал, в котором происходит сжатие газа с уменьшением скорости и возрастанием давления, называется диффузором.

Чтобы не путаться в этих определениях запомним, что сопло – это канал, где происходит разгон газа, а диффузор – это канал, служащий для торможения газа.

Рассмотрим движение газа по сужающемуся и расширяющемуся каналам.

Сужающийся канал ( .

Рис. 31. Сужающийся канал (стрелки показывают направление газового потока).

Для определения изменения скоростей и давлений вдоль оси канала воспользуемся формулой (__). Как видно из анализа этой формулы изменение скорости и изменение площади поперечного сечения стоят по разные стороны. Следовательно, различие или одинаковость знаков этих выражений будет определяться по знаку внутри скобок.

При дозвуковом режиме (М1) выражение (М²-1) становится меньше нуля, следовательно ( , т.е. происходит разгон газа и, как следствие, уменьшается давление. В этом случае сужающийся канал является соплом.

П ри сверхзвуковом режиме (М1) выражение (М²-1) становится больше нуля, следовательно ( , т.е. происходит торможение газа и повышение давления. В этом случае сужающийся канал является диффузором.

а б

Рис. 32. График изменения скорости и давления вдоль оси сужающегося канала: а – дозвуковой режим, б – сверхзвуковой режим.

Расширяющийся канал ( .

Рис. 33. Расширяющийся канал (стрелки показывают направление газового потока).

По аналогии с сужающимся каналом рассмотрим движение газа при дозвуковом и сверхзвуковом режиме.

При дозвуковом режиме (М1) выражение (М²-1) становится меньше нуля, следовательно ( , т.е. происходит торможение газа и увеличение давления. В этом случае расширяющийся канал является диффузором.

При сверхзвуковом режиме (М1) выражение (М²-1) становится больше нуля, следовательно ( , т.е. газ разгоняется с понижением давления. В этом случае расширяющийся канал является соплом.

а б

Рис. 34. График изменения скорости и давления вдоль оси расширяющегося канала: а – дозвуковой режим, б – сверхзвуковой режим.

Из представленных графиков и рассуждений можно сделать следующие выводы.

1. По форму канала нельзя судить о том, является ли этот канал соплом или диффузором.

2. В сужающемся канале невозможно достигнуть сверхзвуковых скоростей.