1. Динамическое программирование: предмет исследования, математическая модель многошагового процесса.

К динамическому программированию относят задачи, которые по своей природе являются многошаговыми, либо задачи, кот. можно свести к многошаговым.

ЗДП: игровые, экономические, ряд задач техн. характера.

Задачи, кот. сводятся к ЗДП: экономические, технические, непрерывные задачи.

2. Задача распределения ресурсов: постановка и анализ (вывод соотношений Беллмана). В состав некоторого объединения входит N предприятий. Объединение обладает ресурсами в кол-ве b единиц. Эти ресурсы объединение распределяет м/ду предприятиями. Рез-том вложения ресурсов в каждое предприятие явл. прибыль, кот. получает объединение. Эта прибыль зависит как от конкретного предприятия, так и от кол-ва вложенных ресурсов. fi(xi) – прибыль, где xi – кол-во ресурсов, кот. выделяется i-ому предприятию. Ставится задача: распределить ресурсы м/ду предприятиями т.о., чтобы суммарная прибыль была max.

x_i

f_i(x_i)

f₁(x₁)+f₂(x₂)+…+f_N(x_N) -> max – суммарная прибыль

(1)

xi≥0, i=1,N

f(x1,x2,…,xN)= f₁(x₁)+f₂(x₂)+…+f_N(x_N) – сепаравельная ф-ция

в силу этого задачу (1) относят к типу сепаравельного программирования. Задачу (1) можно решить средствами матем. программирования, если представить ее в виде многошагового процесса, т.е. на первом этапе выделяют ресурсы для 1-го предпр.; на 2-ом – для 2-го предпр.

Ф-ции fi(xi) могут задаваться аналитически

Δb

b=100

b≤10

0,10,20,…,90,100

1. Принцип инвариантного погружения

k 1≤k≤N

y 0≤y≤b

y=0, Δb

, 2Δb,...,b

2. Принцип оптимальности

Fk(y) – максимальная прибыль пред-я от распределения y единиц ресурсов м/ду k-предприятиями.

k=1 y f₁(y)=>F₁(y)=f₁(x₁)

F_k(y)->F_k+1(y)

x_k+1: F(y-x_k+1)f_k+1(x_k+1)

F_k+1(y)=max (F_k(y-x_k+1)+f_k+1(x_k+1))

0≤x_k+1≤y (2)

F₁(y)=f₁(x₁)

Соотношение (2) назыв. рекурентными

f_k(y) – ф-ция Белмона

Соотношение (2) последовательно позволяет построить ф-цию Белмона для k=1,2,3,…

Процесс построения ф-ции fk(y) для k=1,2,3,…, назыв. прямым ходом метода динамического программирования.

3. Задача о замене оборудования: постановка и анализ (вывод соотношений Беллмана)). Предприятие на однотипном оборудовании производит некоторую продукцию. В зависимости от возраста оборудования меняется кол-во производимой продукции и затраты на обслуживание оборудования. Для характеристики работы оборудования исп. 2 величины: u(t) – сумма продукции (доход) V1 производимой в течении года, если возраст оборудования составляет z лет; v(t) – затраты на эксплуатацию и ремонт оборудования в течении года, если возраст оборудования в начале этого года составляет t лет. В начале каждого года рук-во предприятия принимает решение: производить ли продукцию в течении след. Года на старом оборудовании иди демонтировать это оборудование, продать по остаточной цене и заменить новым. При принятии этого решения учитывается, что на покупку нового оборудования необходимо p денежных единиц. Составить план оптимальной замены оборудования на промежутке T лет, если в начале этого промежутка возраст оборудования t₀ лет.

t₀ t₀₊₁ t₀₊₂

0 1 2 T

u(t)- r(t) – прибыль

Анализ задачи

1. 1≤k≤T

2. 0≤t₀≤T

Т.е. мы рассматриваем T(T+1) однотипных задач.

Введем ф-цию Белмона: Fk(t) – выражает max прибыль предприятия на промежутке k лет, если возраст оборудования в начале этого промежутка t лет.

1. k=1

t

0 1

u(t)-r(t) (1)

S(t)-p+u(0)-r(0)

2. Рассм. k+1

u(t)-r(t) F_k(t+1)

0 1 k k+1

F_k(t)

S(t)-p+u(0)-r(0) F_k(1)

u(t)-r(t)+ (2)

S(t)-p+u(0)-r(0)+

(1) и (2) – рекуррентные соотношения Беллмана.