Десятичная система счисления

Название "десятичная" объясняется тем, что в основе этой системы лежит основание десять. В этой системе для записи чисел используются десять цифр - 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции или местоположения в числе.

Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом.

Например, запись 425 означает, что число состоит из 4 сотен, 2 десятков и 5 единиц. Цифра 5 стоит в разряде единиц, цифра 2 - в разряде десятков, цифра 4 — в разряде сотен.

Если записать эти же цифры в другом порядке, например 524, то это число со­держит 5 сотен, 2 десятка и 4 единицы.

При этом цифра 5 имеет наибольший вес и называется

старшей цифрой числа а цифра 4 - наименьший вес и называется младшей цифрой этого же числа. Различие весов цифр в числе 524 становится очевидным, если это число записать виде суммы:

5 * 10²+2* 10¹ +4 * 10°

В этой записи число 10 - основание системы счисления. Для каждой цифр числа основание 10 возводится в степень, зависящую от позиции цифры, и умножается на эту цифру. Степень основания для единиц равна нулю, для десятков - единице, для сотен - двум и т. д.

Если десятичное число дробное, то оно тоже легко записывается в виде суммы, в которой степень основания для каждой цифры дробной части отрицательна и равна - 1 для старшей цифры дробной части - 2 для следующей цифры дробной части и т. л.

Например, десятичное число 384,9506 выразится суммой

384,9506=3 • 10² +8 * 10¹ +4 * 10°+9 * 10-¹ +5 * 10-²+0 * 10-³+6 • 10-⁴;

856,25=8 * 10²+5 • 10¹ - 6 * 10°+2 • 10^-1-5 • 10~²;

12937,1=1 * 10⁴+2 • 10³+9 • 10²+3 *10 +7 * 10⁰ +1 * 10-¹.

Таким образом, вес любой цифры десятичного числа представляет собой опре­деленную целую степень десяти, а значение степени диктуется позицией соответ­ствующей цифры.

Двоичная система счисления

В компьютерах применяется, как правило, не десятичная, а позиционная двоичная система счисления, т.е. система счисления с основанием 2.

В двоичной системе любое число записывается с помощью двух цифр 0 и 1 и называется двоичным

Для того чтобы отличить двоичное число от десятичного числа, содержащего только цифры 0 и 1, к записи двоичного числа в индексе добавляется признак дво­ичной системы счисления, например 110101,111,.

Каждый разряд (цифру) двоичного числа называют битом.

Как и десятичное число, любое двоичное число можно записать в виде суммы, явно отражающей различие весов цифр, входящих в двоичное число.

В этой сумме в качестве основания используется число 2. Например, для двоичного числа 1010101,101 сумма примет вид

1 - 2⁶ +0 * 2⁵ +1 * 2⁴ +0 * 2³+1*2 ² + 0 *2¹ +1* 2°+1 • 2-¹ +0 • 2- ² +1 * 2-³

Эта сумма записывается по тем же правилам, что и сумма для десятичного числа.

Выполняя в этой сумме арифметические опера­ции по правилам десятичной системы, получим десятичное число 85,625. Таким образом, двоичное число 1010101,101 совпадает с десятичным числом 85,625, или 1010101Д01₂ =85,625₁₀.

Правило перевода. Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления, нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами - цифрами и найти эту сумму.

Существенным недостатком двоичной системы является то, что для записи чис­ла в этой системе требуется довольно много цифр 0 и 1. Это затрудняет восприятие двоичных чисел человеком. Например, десятичное число 156 в двоичной системе имеет вид 10011100.

Рассмотрим перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления.

Пусть А_ц = а _n-1 х 2 ^n-1 +... + а ₁ х 2 ¹ + а ₀ х 2 ⁰

- поделим А_ц на 2, тогда неполное частное будет а _n-1 х 2 ^n-1 + … +а₁ ,а остаток а₀

- полученное неполное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет а₁ и т.д.

- на n-м шаге получим набор остатков а ₀, а ₁, а ₂, ..., а _n-1, которые входят в двоичное представление числа А_ц и совпадают с остатками от последовательного деления данного числа на 2. Но мы получим их в обратном порядке. Нужно только переписать их .

А_ц = а _n-1 а _n-2 ... а ₁ а ₀

П ример 1. Перевести число 11 из десятичной системы счисления в двоичную систему.

Соберем остатки от деления в направлении, указанной стрелкой, начиная с последней единицы и получим число в двоичной системе счисления:

Пример 2. Если десятичное число достаточно большое, то можно применить следующий вид записи:

соберем остатки от деления в направлении, указанной стрелкой, начиная с последней единицы и получим число в двоичной системе счисления

363₁₀ = 101101011₂

Рассмотрим перевод правильной десятичной дроби в двоичную систему счисления.

Пусть А_ц - правильная десятичная дробь ,тогда его можно записать в виде:

А_др = а _-1 х 2 ^-1 + а _-2 х 2 ^-2 +...

Если А_др умножить на 2 , то в правой части получим а _-1 + а _-2 х 2 ^-1 + а_-3 х 2 ^-2 +...,

где а_-1 - целая часть, она и даст нам старший коэффициент в разложении числа А_др по степеням 2. Оставшуюся дробную часть снова умножим на 2 и получим а _-2 + а_-3 х 2 ^-1 +... , где а_-2 - второй коэффициент после запятой в двоичном представлении числа. Процесс продолжить до тех пор, пока в правой части не получим 0 или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Пример 3. Перевести число 0,75 из десятичной системы счисления в двоичную систему. 0,7510 = 0,112 Проверка: 0,112 = 1 х 2 -1 + 1 х 2 -2 = 0,5 + 0,25 = 0,7510

Пример 4. Перевести число 0,7 из десятичной системы счисления в двоичную систему.

Этот процесс может продолжаться бесконечно,   его обрывают на том шаге, когда считают,   что получена требуемая точность.

А если число смешанное? Тогда нужно отдельно перевести целую часть и отдельно - дробную.

Пример 5. Перевести число 15, 25₁₀

Значит 15,25₁₀ = 1111,01₂