Решение типовых задач.
Задача 1. По выборке из ГС (X,Y), имеющей двумерное нормальное распределение, построить эмпирическую функцию регрессии Y на X. Проверить адекватность регрессии исходным данным при = 0.05. Выборочные данные представлены в корреляционной таблице:
-
yj
xi
30
50
70
90
110
130
150
170
mxi
1
1
2
5
0
0
0
0
0
8
2
0
2
7
4
0
0
0
0
13
3
0
0
9
6
4
0
0
0
19
4
0
0
0
14
6
7
0
0
27
5
0
0
0
0
1
8
9
0
18
6
0
0
0
0
0
4
5
6
15
myj
1
4
21
24
11
19
14
6
100
Решение. Находим числовые характеристики выборки
Уравнение регрессии Y на X имеет вид
Подставляя численные данные, получим
Адекватность полученной регрессии
исходным данным проверяем по критерию
Фишера:
По таблице квантилей распределения
Фишера
Так как 248,25 > 3,948, то модель адекватна
исходным данным.
Задача 17.2. В таблице представлены реальные опытные данные по исследованию зависимости признака Y от фактора Х. Каждый опыт дублировался 4 раза (Y1i Y2i Y3i Y4i). Построить эмпирическую функцию регрессии Y на Х, предварительно проверив выполнимость постулатов РКА и проведя дисперсионный анализ при = 0.05.
-
i
Xi
Y1i
Y2i
Y3i
Y4i
1
0
84,1
82,6
81,0
78,3
2
5
82,3
81,2
79,6
81,4
3
10
78,7
80,9
81,0
83,2
4
15
80,8
84,0
80,9
77,7
5
20
80,5
82,3
80,7
79,8
6
25
80,0
84,8
82,1
76,8
Решение. Составляем расчетную таблицу (29,95)
-
i
(Si) 2
Si
Mi
mi
Ri
(R/S)i
T1i
T2i
1
81,50
6,15
2,48
84,1
78,3
5,8
2,34
1,04
1,29
2
81,12
1,26
1,12
82,3
79,6
2,7
2,40
1,04
1,35
3
80,95
3,48
1,87
83,2
78,7
4,5
2,41
1,22
1,22
4
80,85
6,72
2,59
84,0
77,7
6,3
2,43
1,22
1,22
5
80,82
1,11
1,06
82,3
79,8
2,5
2,37
1,39
0,97
6
80,92
11,42
3,38
84.8
76,8
8,0
2,37
1,14
1,22
В таблице Mi
и mi
максимальное и минимальное значения
признака в параллельных опытах, Ri
= Mi–mi
– размах выборки, (R/S)i
= Ri / Si,
T1i =
Сумма дисперсий
максимальная дисперсия 11,42. Проверим
выполнение постулатов РКА.
а) Нормальность: из таблицы (приложение 7) при n=4 и = 0.05 отношение (R/S) должно находится в пределах от 1,98 до 2,439. Как видно из расчетной таблицы, это условие соблюдается.
б) Для проверки однородности дисперсий по критерию Кочрена (количество параллельных опытов одно и то же и равно 4) находим отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий: Сэмп=11,42 / 29,95=0,381. По таблице критических точек (приложение 6) С(4, 6; 0б05) =0,4803. Так как 0,381 < 0, 4803, то дисперсии однородны.
в) По таблице (приложение 8) Т(4; 0б05)=1,69. Так как T1i и T2i не превосходят этого числа, то аномальные значения отсутствуют.
Таким образом, постулаты РКА выполнены.
Дисперсионный анализ:
Вычисляя получим
,
Q1=88,05, Q2=1,3,
Dслуч=
=4,89,
Dфакт=
.
Отношение дисперсий определяет
эмпирическое значение F
– критерия: Fэмп=0,26/4,89=0,053
< F5, 18; 0,95=2,95. Это
говорит о том, что фактор Х не влияет
существенно на значения признака Y,
т. е. невозможно построить регрессию,
адекватную исходным данным. В таких
случаях полагают, что
.
Задача 17.3 В таблице представлены реальные опытные данные по исследованию зависимости признака Y от фактора Х. Каждый опыт дублировался 4 раза (Y1i Y2i Y3i Y4i). Предполагая, что постулаты РКА и ДА выполнены и фактор Х влияет существенно на значения признака Y, построить эмпирическую функцию регрессии Y на Х. Проверить адекватность регрессии исходным данным при = 0.05.
-
i
хi
y1i
y2i
y3i
y4i
1
0
79
78
83
74
2
5
51
59
52
48
3
10
25
33
41
30
4
15
24
16
18
14
5
20
11
12
15
7
6
25
5
6
4
8
Решение. Находим средние значения признака и строим эмпирический график зависимости среднего значения признака Y от фактора Х:
-
хi
0
5
10
15
20
25
78,5
52,5
32,25
18
11,25
5,75
Из графика видно, что эмпирическая зависимость мало отличается от линейной, т. е. уравнение регрессии Y на Х будем искать в виде
Так как количество параллельных опытов
на каждом уровне фактора одинаково, то
(78,5
+ 52,5 + 32,25 + 18 + 11,25 + 5,75)/6=33,042,
229,167– 156,25=72,9167,
= 1754,458–1091,752=662,7066,
–
= 209,9583–413,0208=–209,063,
Подставляя численные данные, окончательно получаем
Проверка адекватности полученной регрессии выборочным данным:
По таблице квантилей распределения
Фишера
Так как 203,64 > 4,30, то модель адекватна
исходным данным.