Решение типовых задач.

Задача 7.1. Среди пяти изделий имеется одно бракованное. Чтобы обнаружить его, выбирают наугад одно изделие за другим и каждое взятое изделие проверяют. СВ Х – число проверенных изделий. Записать закон распределения СВ Х.

Решение. Очевидно, множество значений СВ Х _Х=1, 2, 3, 4, 5. Определяем вероятности, с которыми каждое значение принимается.

(среди 5-ти изделий одно бракованное).

(сначала взято не бракованное изделие с вероятностью 4/5, а затем из 4-х изделий выбрано бракованное). Аналогично,

, ,

Получаем ряд распределения СВ Х:

Х	1	2	3	4	5
Р	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	

Задача 7.2. Для каждой из 5-ти библиотек вероятность найти нужную книгу равна 0,6. СВ Х – количество библиотек, которые посетит читатель. Записать закон распределения СВ Х, найти числовые характеристики m_x, D_x, _x, Mo и построить многоугольник распределения.

Решение. Очевидно, множество значений СВ Х _Х=1, 2, 3, 4, 5. Определяем вероятности, с которыми они принимается: Р(Х=1) = 0,6 – книга есть в 1-й библиотеке; Р(Х=2) = 0,40,6 = 0,24 – в 1-й библиотеке книги нет, во 2-й есть. Аналогично Р(Х=3) = 0,40,40,6 = 0,096: Р(Х=4) = 0,40,40,40,6 = 0,0384; Р(Х=5) = 0,40,40,40,4 = 0,0256 – 5-я библиотека посещается в том случае, когда в 4-х первых книги не оказалось.

Получаем ряд распределения СВ Х:

Х	1	2	3	4	5
Р	0,6	0,24	0,096	0,0384	0,0256

m_x = 10,6+20,24+30,096+40,0384+50,00256=1,5344;

D_x=10,6+2²0,24+3²0,096+4²0,0384+5²0,00256–1,5344²=0,748;

Mo=1.

Для построения многоугольника распределения на горизонтальной оси декартовой системы координат отмечаем значения x_i СВ Х и из этих значений восстанавливаем перпендикуляры длиной p_i = P(X=x_i). Получаемые точки (x_i; p_i) последовательно соединяем ломаной.

y

0,6

2

1

3

0

4

5

x

Многоугольник распределения

Задача 7.3. Партия содержит 10% бракованных изделий. Для контроля отбирают 4 изделия. СВ Х – число бракованных изделий среди отобранных. Записать закон распределения СВ Х. Найти числовые характеристики m_x, D_x, _x, Mo. Построить функцию распределения и ее график.

Решение. Множество значений СВ Х _Х=0, 1, 2, 3, 4. Вероятность появления каждого значения можно найти по формуле Бернулли

Вычисления: Р(Х=0) = 0,9⁴ = 0,6561; Р(Х=1) = 40,10,9³ = 0,2916; Р(Х=2) = 60,1²0,9² = 0,0486; Р(Х=3) = 40,1³0,9 = 0,0036; Р(Х=4) = 0,1⁴ = 0,0001.

Ряд распределения СВ Х:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

m_x = 00,6561+10,2916+20,0486+30,0036+40,0001=0,4;

D_x=00,6561+10,2916+2²0,0486+3²0,0036+4²0,0001–0,4²=0,36;

Mo=0.

y

1

0,6561

1

0

2

4

3

x

График F(x)

ПЗ 8. Одномерные непрерывные СВ.

Непрерывные одномерные СВ задаются либо функцией распределения F(x)=P(X<x), либо плотностью вероятностей p(x)=F^/(x) (в предположении, что F(x) – дифференцируемая функция). Для непрерывной СВ функция распределения непрерывна на всей числовой оси, для дискретной – кусочно постоянная. Через плотность вероятности функция распределения выражается по формуле .

Вероятность попадания непрерывной СВ в промежуток

Формулы для нахождения числовых характеристик

мода Mo – точка глобального максимума плотности вероятности, медиана Me определяется из уравнения F(Me)=0,5.