Решение типовых задач.

Задача 2.1. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает в среднем 85% деталей высшего качества, второй – 80%, третий – 75%. Найти вероятность попадания на сборку детали высшего качества (событие А), если с первого автомата поступило 400 деталей, со второго – 200, с третьего – 600.

Решение. Число всех возможных исходов – общее количество деталей, поступивших на сборку, т.е.

Число исходов, благоприятствующих событию А – общее количество деталей высшего :



Задача 2.2. Из урны, содержащей k шаров с номерами 1, 2,...,k последовательно (с возвращением) вынимаются два шара. Какова вероятность того, что номера шаров появятся в возрастающем порядке?

Решение. Очевидно, общее количество исходов n=k². Для подсчета благоприятствующих исходов отметим, что с номером 1 первого шара может появится (k–1) номеров второго шара, с номером 2 – (k –2),..., с номером (k –1) – только 1 номер второго шара. По формуле суммы членов арифметической прогрессии

Искомая вероятность 

Задача 2.3. 32 карты раздаются 4-м игрокам (каждому по 8 карт). Найти вероятность события А – каждый из игроков получит туза.

Решение. 1-й игрок получает 8 карт из наборов, для 2-го эта цифра равна , для 3-го – , для 4-го – 1. По принципу перечисления общее количество исходов . При подсчете благоприятствующих исходов у 1-го игрока имеется исходов для получения туза, у 2-го – , у 3-го – , у 4-го – 1. По принципу перечисления Искомая вероятность



Задача 2.4 (Задача о встрече). Два лица А и В договорились встретиться в течении часа в определенном месте. Условия встречи – пришедший первым ждет 20 минут и уходит. Найти вероятность встречи, если время прихода каждый выбирает случайно.

y

Решение. Пусть х – момент прихода А, у – момент прихода В. Тогда областью  является квадрат площадью S() = 60². Встреча состоится (событие С), если |x–y|20. Тогда множество С (заштрихованная на рисунке область) заключено между прямыми х–у=20 и х–у= –20.

х–у= –20

х–у=20

60

C

20

x

0

60

20

_{Рисунок к задаче 2.4.}

Площадь множества С



Задача _{2.5. Проверено 500 деталей, изготовленных станком–автоматом. 20 из них оказались бракованными. Оценить вероятность изготовления бракованной детали.}

_{Решение. Применим статистическое определение вероятности. В данном случае: количество проведенных опытов n=500; количество появлений события А (бракованных деталей) mA = 20. Относительная частота появления события А По статистическому определению вероятности при большом количестве опытов. В данном случае} 

ПЗ 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Основные теоретические сведения содержатся в лекции 1, п. 1.4 (операции над событиями и их свойства) и в лекции 2, п. 2.1 (понятия совместности и несовместности событий, теоремы сложения вероятностей совместных и несовместных событий), п. 2.2 (понятия условной вероятности, зависимости и независимости событий, теоремы умножения вероятностей зависимых и независимых событий).